Задача 194. Зарядовое сопряжение
Зная спинор 
являющийся решением уравнения Дирака для частицы с зарядом 
построить зарядово сопряженный спинор 
описывающий поведение частицы с зарядом противоположного знака 
Решение. В этой задаче ради краткости мы будем пользоваться обозначением
где 
компоненты 4-потенциала электромагнитного поля. В этих обозначениях уравнение Дирака для частицы с зарядом 
имеет вид
Спинор 
описывающий поведение частицы с зарядом противоположного знака, должен удовлетворять уравнению
Наша задача — установить связь между решением 
уравнения (194.2) и решением 
уравнения (194.1).
Прежде всего заметим, что оператор 
фигурирующий в уравнении (194.2), появляется также и в уравнении
которое представляет собой уравнение, сопряженное исходному уравнению (194.1). Производя в этом уравнении операцию транспонирования, находим
где
Умножим последнее уравнение на некоторое клиффордово число С:
Полученное таким образом уравнение будет тождественно уравнению (194.2), если клиффордово число С одновременно удовлетворяет двум соотношениям
Чтобы найти величину С, исключим из этих соотношений спинор 
Так как далее спинор 
следует считать произвольным, то должны выполняться соотношения
из них и определяется величина С.
Поскольку мы имеем дело с однородными уравнениями, то в спиноре 
всегда содержится произвольный постоянный множитель. Разумно зафиксировать этот множитель, постулируя, что зарядовое сопряжение не приводит к изменению нормировки:
Теперь в силу соотношений (194.5) имеем
и, следовательно,
Последнее соотношение идентично соотношению (194.7), если
или (поскольку 
соотношению
Таким образом, С — унитарный оператор.
Заметим, что в стандартном представлении
поэтому из соотношений (194.6) следует, что С коммутирует с и у, и антикоммутирует 
Такими свойствами обладает клиффордово число
которое и является единственным элементом из всех 16 базисных элементов клиффордовой алгебры, удовлетворяющим четырем соотношениям (194.6). Как следует из (194.10)
поэтому, согласно (194.5), зарядово сопряженная волновая функция в стандартном представлении имеет вид
