Задача 183. Золотое правило для рассеяния

Пучок частиц с начальным импульсом упруго рассеивается на потенциале внутрь телесного угла причем в конечном состоянии Пользуясь нестационарной теорией возмущений Дирака, получить дифференциальное сечение рассеяния

Решение. Согласно (181.9), в первом порядке нестационарной теории возмущений Дирака

Если матричный элемент не зависит от времени, то этот интеграл легко вычислить, и в результате получаем следующую основную формулу:

И начальное и конечное состояния принадлежат непрерывному спектру. Вводя нормировочный объем, соответствующие волновые функции можно записать в виде

При конечном объеме V в окрестности состояния имеется очень большое число близких к нему состояний, причем в, пределе даже в бесконечно малой окрестности их число оказывается бесконечным. По этой причине вопрос о вероятности перехода в одно отдельно взятое конечное состояние с вполне

определенным значением импульса становится бессмысленным, и мы можем спрашивать лишь о вероятности обнаружить рассеянные частицы в некотором интервале конечных состояний.

Пусть означает число состояний внутри интервала конечных энергий и пусть эти состояния характеризуются импульсами, лежащими внутри телесного угла тогда вероятность перехода в единицу времени в указанный интервал телесных углов будет определяться выражением

Такое определение является разумным лишь в силу того, что приведенное выражение не зависит от времени, а интегрирование фактически распространяется на очень узкий интервал энергий. Перейдем к новой переменной интегрирования

и положим, кроме того,

тогда

Отсюда, согласно формулам (183.2) и (183.4), получаем

При вычислении последнего интеграла мы вправе воспользоваться соображениями, изложенными в предыдущей задаче. Вклад в интеграл по очень большому интервалу переменной х с центром в точке дают лишь состояния из очень узкого интервала энергий с центром в точке поэтому

Для вероятности перехода целесообразно сохранить обозначение в виде дифференциала так как в величине пока еще содержится бесконечно малый интервал телесных углов (возможно, что в связи с этим саму величину было бы лучше обозначать посредством Равенство (183.5) называют золотым правилом.

Полученная вероятность перехода очевидным образом зависит от нормировочного объема V и от начальной скорости сталкивающихся с мишенью частиц. Вместо вероятности

перехода целесообразно ввести величину не зависящую от нормировочного объема V, определив ее равенством

Эта величина имеет размерность и представляет собой дифференциальное сечение рассеяния, причем, согласно золотому правилу (183.5),

Таким образом, нам остается вычислить плотность конечных состояний и получить выражение для матричного элемента.

Плотность конечных состояний можно вычислить, приняв во внимание, что на одно состояние бесспиновой частицы в импульсном пространстве приходится объем, равный Поэтому в произвольном элементе объема импульсного пространства содержится

состояний. Учитывая, что

получаем

и, следовательно,

В случае упругого рассеяния множитель и его в дальнейшем можно опустить.

Для сферически симметричного потенциала матричный элемент между состояниями, описываемыми плоскими волнами (183.3), имеет вид

где называемый переданный импульс (в единицах Интегрирование по угловым переменным дает

поэтому окончательно получаем

Результат (183.12), как и следовало ожидать, совпадает с формулой первого борновского приближения (см. задачу 105). Действительно, наша исходная формула (183.1) уже предполагает, что рассеивающий потенциал рассматривается в качестве возмущения; именно по этой причине для описания начального и конечного состояний были использованы плоские волны.