Главная > Задачи по квантовой механике. Том 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Задача 183. Золотое правило для рассеяния

Пучок частиц с начальным импульсом упруго рассеивается на потенциале внутрь телесного угла причем в конечном состоянии Пользуясь нестационарной теорией возмущений Дирака, получить дифференциальное сечение рассеяния

Решение. Согласно (181.9), в первом порядке нестационарной теории возмущений Дирака

Если матричный элемент не зависит от времени, то этот интеграл легко вычислить, и в результате получаем следующую основную формулу:

И начальное и конечное состояния принадлежат непрерывному спектру. Вводя нормировочный объем, соответствующие волновые функции можно записать в виде

При конечном объеме V в окрестности состояния имеется очень большое число близких к нему состояний, причем в, пределе даже в бесконечно малой окрестности их число оказывается бесконечным. По этой причине вопрос о вероятности перехода в одно отдельно взятое конечное состояние с вполне

определенным значением импульса становится бессмысленным, и мы можем спрашивать лишь о вероятности обнаружить рассеянные частицы в некотором интервале конечных состояний.

Пусть означает число состояний внутри интервала конечных энергий и пусть эти состояния характеризуются импульсами, лежащими внутри телесного угла тогда вероятность перехода в единицу времени в указанный интервал телесных углов будет определяться выражением

Такое определение является разумным лишь в силу того, что приведенное выражение не зависит от времени, а интегрирование фактически распространяется на очень узкий интервал энергий. Перейдем к новой переменной интегрирования

и положим, кроме того,

тогда

Отсюда, согласно формулам (183.2) и (183.4), получаем

При вычислении последнего интеграла мы вправе воспользоваться соображениями, изложенными в предыдущей задаче. Вклад в интеграл по очень большому интервалу переменной х с центром в точке дают лишь состояния из очень узкого интервала энергий с центром в точке поэтому

Для вероятности перехода целесообразно сохранить обозначение в виде дифференциала так как в величине пока еще содержится бесконечно малый интервал телесных углов (возможно, что в связи с этим саму величину было бы лучше обозначать посредством Равенство (183.5) называют золотым правилом.

Полученная вероятность перехода очевидным образом зависит от нормировочного объема V и от начальной скорости сталкивающихся с мишенью частиц. Вместо вероятности

перехода целесообразно ввести величину не зависящую от нормировочного объема V, определив ее равенством

Эта величина имеет размерность и представляет собой дифференциальное сечение рассеяния, причем, согласно золотому правилу (183.5),

Таким образом, нам остается вычислить плотность конечных состояний и получить выражение для матричного элемента.

Плотность конечных состояний можно вычислить, приняв во внимание, что на одно состояние бесспиновой частицы в импульсном пространстве приходится объем, равный Поэтому в произвольном элементе объема импульсного пространства содержится

состояний. Учитывая, что

получаем

и, следовательно,

В случае упругого рассеяния множитель и его в дальнейшем можно опустить.

Для сферически симметричного потенциала матричный элемент между состояниями, описываемыми плоскими волнами (183.3), имеет вид

где называемый переданный импульс (в единицах Интегрирование по угловым переменным дает

поэтому окончательно получаем

Результат (183.12), как и следовало ожидать, совпадает с формулой первого борновского приближения (см. задачу 105). Действительно, наша исходная формула (183.1) уже предполагает, что рассеивающий потенциал рассматривается в качестве возмущения; именно по этой причине для описания начального и конечного состояний были использованы плоские волны.

1
Оглавление
email@scask.ru