Задача 185. Кулоновское возбуждение атома

Пусть на расстоянии (прицельное расстояние) от атома щелочного металла пролетает электрон. Скорость электрона предполагается большой по сравнению со скоростью валентного электрона в атоме. В результате кулоновского взаимодействия атом может перейти в возбужденное состояние. С помощью нестационарной теории возмущений рассчитать эффективное сечение такого процесса.

Решение. Будем описывать положение валентного электрона относительно атомного остова (фиг. 71) радиус-вектором . Если налетающий электрон находится в точке то энергию его

взаимодействия с валентным электроном можно записать в виде

где

Ниже будем пренебрегать эффектами, связанными с замедлением или отклонением налетающего электрона. Кроме того, рассматривая налетающий электрон как классическую частицу, мы, конечно, не учитываем и все обменные эффекты.

Фиг. 71. Схема столкновения электрона с атомом. Если длина волны налетающего электрона мала по сравнению с прицельным расстоянием и с линейными размерами атома, то такое приближение вполне разумно. Для простоты будем также считать, что прицельное расстояние в свою очередь велико по сравнению с линейными размерами атома, и, следовательно, можно воспользоваться разложением

В этом приближении матричный элемент перехода из основного состояния (индекс 0) в возбужденное (индекс записывается в виде

поскольку первый (статический) член из выражения (185.2а) дает вклад только в диагональный матричный элемент отвечающий упругому рассеянию.

Если невозмущенное состояние удовлетворяет уравнению Шредингера

то возмущенное состояние записывается в виде

где (см. задачу 181)

Отсюда вероятность обнаружить атом в возбужденном состоянии после того, как процесс столкновения закончится, равна

а эффективное сечение возбуждения состояния получается из нее интегрированием по прицельному расстоянию:

Таким образом, задача в основном сводится к вычислению амплитуды После подстановки выражения для матричного элемента (185.3) получаем

Вводя обозначения

последнее выражение можно переписать в виде

Оба фигурирующие здесь интеграла нетрудно вычислить, воспользовавшись интегральным представлением модифицированной функции Ханкеля:

Последний интеграл можно представить в ином виде:

поэтому

Дифференцируя равенство (185.11) по получаем

Таким образом, имеем

Если атом не поляризован, то усреднение по поляризации дает

поэтому

С учетом соотношений (185.7) и (185.8) для эффективного сечения возбуждения состояния получаем

Если бы в последнем интеграле нижний предел был отличен от нуля, то мы могли бы написать

При малых значениях справедливы предельные соотношения

где постоянная Эйлера. Таким образом, рассматриваемый интеграл расходится при малых значениях т. е., согласно (185.8), при малых значениях прицельного расстояния Эта расходимость связана с использованием разложения (185.2а) для энергии взаимодействия, которое имеет смысл лишь в том случае, если расстояние между валентным электроном и атомным остовом мало по сравнению с прицельным расстоянием Возникшую расходимость можно устранить, полагая где эффективный радиус атома. Согласно соотношению (185.8), имеем

Так как скорость должна быть велика по сравнению со скоростью валентного электрона, то и мы можем пользоваться соотношениями (185.18). В результате для эффективного сечения возбуждения атома получаем

Точное значение обрезающего радиуса несущественно, так как он стоит под знаком логарифма, а логарифмическая функция сравнительно медленно меняется при изменении ее аргумента.

Примечание. Метод, использованный при решении этой задачи, заимствован нами из теории кулоновского возбуждения атомных ядер: см., например, Alder К. Winther W., Dan. Mat.-Fys. Medd.. 29, 19(1955).