Задача 134. Квадрупольный момент при наличии спина

Вычислить квадрупольный момент одноэлектронного состояния в сферически симметричном потенциальном поле, приняв во внимание наличие спина.

Решение. Квадрат модуля собственной функции [см. равенства (133.11) и (133.12)] выражается формулой

если и формулой

если . Напомним, что и что при решение, соответствующее функции три, отсутствует.

Так как выражения (134.1а) и (134.16) не зависят от угла то здесь остаются в силе аргументы, приведенные в задаче 61,

поэтому средние значения недиагональных элементов тензора квадрупольного момента обращаются в нуль, а средние значения его диагональных элементов связаны соотношением

Таким образом, мы опять должны вычислить лишь одну величину определяемую формулой

Подставляя сюда выражения (134.1а) и (134.16) и учитывая доказанное в задаче 61 соотношение

получаем

Здесь верхний знак относится к случаю а нижний — к случаю и 1. и, кроме того, введено обозначение

После элементарной перегруппировки членов в фигурных скобках полученное выражение приводится к виду

удобному для сравнения с выражением (61.8).

Последнюю формулу можно записать в более компактном виде, если заменить квантовое число I числом

Эта формула имеет место при любом выборе знака в выражении В нижеследующей таблице приведены числовые результаты для нескольких первых значений квантового числа

(см. скан)

Из таблицы видно, что при сферической симметрией обладают как так и -состояния. Вообще можно установить, что по мере увеличения значений вытянутая форма электронного распределения заменяется на сплющенную.

Сумма чисел стоящих в нашей таблице на одной строке, как нетрудно видеть, равна нулю. Это объясняется тем, что такое суммирование приводит к конфигурации замкнутой оболочки. В этом можно убедиться и в общем случае, если принять во внимание, что

и

С учетом этих соотношений имеем