Задача 178. Влияние экранировки на K-электроны

Найти поправку к энергии связи -электрона, обусловленную экранировкой. При расчетах использовать приближение Тайтца для модели атома Томаса — Ферми.

Решение. Предположим, что из атома с зарядом ядра удалены единичный ядерный заряд и один из двух -электронов. В результате такой операции у нас получился бы нейтральный атом с зарядом ядра Если теперь вернуть ядру удаленный ранее положительный заряд, но пренебречь его влиянием на движение оставшихся электронов, то полученная таким образом система зарядов будет создавать в пространстве электростатический потенциал, описываемый формулой (ниже используются атомные единицы)

где - функция Томаса — Ферми от переменной

Если теперь добавить к этой системе ранее удаленный -электрон (заряд —1), то его потенциальная энергия будет равна

Для дальнейших расчетов воспользуемся теорией возмущений. Без учета экранировки выражение для потенциальной энергии -электрона имело бы вид

Таким образом, с учетом экранировки имеем

В пренебрежении экранировкой энергия и соответствующая ей волновая функция -электрона определяются выражениями

Благодаря экранировке энергетический уровень в первом порядке теории возмущений сдвигается на величину

Последнее выражение после подстановки в него функции принимает вид

Теперь уже можно воспользоваться приближением Тайтца (см. вадачу 176):

Чтобы вычислить интеграл (178.6), перейдем к новой переменной

где

В результате получаем

Фигурирующий здесь интеграл

представляет собой хорошо известную функцию, асимптотическое поведение которой при больших значениях описывается, рядом

Что же касается интеграла от последнего члена в формуле (178.10), то он также выражается через

Таким образом, находим

Отсюда при с учетом разложения (178.12) окончательно получаем

Переходя к числовым оценкам величины сдвига энергетического уровня прежде всего заметим, что параметр определяемый формулой (178.9), действительно велик (см. также приведенную ниже таблицу), поэтому приближение (178.15) является вполне разумным. В третьем столбце таблицы даны значения выражения, стоящего в круглых скобках в формуле (178.15) (начальные члены этого ряда быстро убывают). При изменении от 20 до 80 сдвиг энергетического уровня составляет 26—12% от величины Следовательно, он действительно представляет собой всего лишь поправку, хотя и не настолько малую, чтобы учет второго порядка теории возмущений не мог изменить ее на несколько процентов. Надо, однако, иметь в виду, что уже сама по себе используемая модель Томаса — Ферми слишком груба, поэтому учет второго порядка теории возмущений физически нецелесообразен.

В рентгеноспектроскопии обычно принято характеризовать сдвиг энергетического уровня с помощью экранировочной постоянной определяемой равенством

Из этого определения следует

Значения экранировочной постоянной, рассчитанные по этой формуле, также приведены в нашей таблице. Так как

то для грубой оценки квадратный корень можно заменить степенным разложением, и мы получаем

Таким образом, экранировочная постоянная примерно пропорциональна Если для оценок воспользоваться грубой формулой вида

то с ее помощью нетрудно получить следующие пары значений:

Однако определять коэффициент пропорциональности с такой большой точностью не имеет смысла. Сравнение экспериментальных значений экранировочной постоянной с ее теоретическими значениями показывает, что вплоть до согласие между теорией и экспериментом довольно хорошее, но по мере дальнейшего роста согласие между ними нарушается. Вместо предсказываемого теорией медленного увеличения фактические значения экранировочной постоянной, достигнув максимума 3,7, начинают сначала медленно, а после быстро убывать. Вполне очевидно, что отмеченное противоречие между теорией и экспериментом при больших значениях следует приписать релятивистским эффектам. Такое заключение качественно подтверждается данными, приведенными в двух последних столбцах нашей таблицы.

(см. скан)

Согласно релятивистской квантовой механике (см. задачу 203), невозмущенная энергия -электрона понижается на величину

Этот сдвиг уровня надо добавить к сдвигу обусловленному экранировкой, и лишь затем вычислять экранировочную постоянную. Результаты таких расчетов приведены в последнем столбце нашей таблицы. Так как суммарный сдвиг

по мере роста делается все меньше и меньше по сравнению с первоначальным сдвигом то исправленное значение экранировочной постоянной характеризующее отклонение эффективного поля от неэкранированного поля ядра, также убывает все быстрее с ростом что согласуется с данными эксперимента. Строго говоря, релятивистские эффекты следовало бы учесть не только при вычислении энергии но и при вычислении сдвига В этой связи наши результаты нужно рассматривать как сравнительно грубое приближение, однако допускаемая нами ошибка вряд ли выходит за рамки точности модели Томаса — Ферми, не учитывающей эффектов, обусловленных оболочечной структурой атома.