Задача 157. Основное состояние атома лития

Вычислить энергию основного состояния атома лития Считать, что два -электрона лития описываются водородоподобными экранированными функциями, найденными в задаче 154. Обменные эффекты не учитывать.

Решение. В данной задаче гамильтониан имеет вид

Здесь первая фигурная скобка соответствует двухэлектронной задаче для иона во второй фигурной скобке стоит гамильтониан одноэлектронной задачи, приводящий к волновой функции -состояния третьего электрона в поле экранированного ядра с результирующим зарядом наконец, в третьей скобке собраны остальные члены энергии взаимодействия. Такой подход к движению третьего электрона был бы вполне оправдан, если бы радиус -оболочки был гораздо меньше радиуса орбиты -электрона. Так как в действительности дело обстоит иначе, то использование для описания третьего электрона водородоподобной функции с следует рассматривать в качестве более или менее грубого приближения.

Мы запишем волновую функцию в виде произведения

в котором и означает функцию -состояния:

а эффективный заряд ядра, обусловленный взаимной экранировкой двух -электронов иона определяется формулой (см. задачу 1,4)

Кроме того, как следует из результатов задачи 154, энергия -состояния

теперь определяется формулой

Волновую функцию третьего электрона мы возьмем из таблицы, приведенной в задаче 67 (проблема Кеплера). Для низшего -состояния этого электрона она имеет вид

и удовлетворяет дифференциальному уравнению

Если функции (157.3) и (157.7) подставить в формулу для энергии

где — гамильтониан (157.1), то в силу равенства (157.5) вклад от первой фигурной скобки выражения (157.1) будет равен а вклад от второй фигурной скобки, согласно уравнению (157.8), будет равен Таким образом, имеем

и дело сводится к вычислению последнего интеграла, который после очевидных упрощений принимает вид

Используя далее равенство [см. в задаче 44 формулу (44.19)]

получаем

Подставляя сюда вместо функции ее выражение (157.7), мы после элементарного, но довольно громоздкого интегрирования окончательно находим

Отсюда для энергии основного состояния атома лития получается выражение

а энергия однократной ионизации будет равна

Взяв теперь для величины а значение (157.4), получаем

Найденное значение энергии ионизации следует сравнить с экспериментальным значением Мы видим, что наша приближенная теория не слишком хороша. Причину такого различия нельзя отнести ни за счет предположения о полном экранирующем действии К-оболочки на третий электрон, ни за счет того, что мы пренебрегли небольшим различием в значениях величины а для иона и нейтрального атома. Оба указанных эффекта слишком малы, чтобы с их помощью можно было объяснить расхождение более чем в 1 эВ. У использованной нами волновой функции имеется еще две особенности, которые могли вызвать такое расхождение между теорией и экспериментом: во-первых, она имеет вид произведения, а во-вторых, она не обладает должной симметрией, и, следовательно, наша теория не учитывает обменную энергию.