Задача 169. Холодная эмиссия без учета сил электростатического изображения

Определить плотность тока электронов, эмиттируемых металлической поверхностью под действием сильного электрического поля Температуру считать низкой, структуру кристаллической решетки, а также силы электростатического изображения не учитывать.

Решение. Пусть эмиттирующая поверхность совпадает с плоскостью Внутри металла электроны проводимости имеют постоянную потенциальную энергию вне металла их потенциальная энергия в отсутствие электрического поля равна

Фиг. 67. Холодная эмиссия.

Слева: электронные уровни внутри металла заполнены вплоть до энергии Фермн справа: ход потенциала вне металла.

Внутри металла электроны проводимости в совокупности образуют ферми-газ в основном состоянии и занимают все энергетические уровни вплоть до уровня, соответствующего энергии Ферми При наличии электрического поля потенциальная энергия электронов вне металла описывается выражением

Обращаясь к фиг. 67, мы видим, что при наличии поля вне металла образуется потенциальный барьер. Пусть означает ту часть энергии электрона, которая соответствует -компоненте его скорости, тогда для коэффициента прохождения рассчитанного в приближении ВКБ, можно написать

где определяется формулой (169.1), а

Выражение (169.2) быстро убывает при убывании а

фигурирующий в нем интеграл легко вычисляется и мы получаем

Плотность тока электронов можно определить по формуле

где - число электронов проводимости в элементе импульсного пространства отнесенное к Для ферми-газа внутри ферми-сферы, т. е. при условии

получаем

вне ферми-сферы имеем

Если в импульсном пространстве ввести цилиндрические координаты и принять во внимание, что

то интеграл (169.5) можно записать в виде

причем выше интегрирование распространяется на все электроны, для которых С помощью введения новой переменной

последний интеграл упрощается, и мы получаем

где

Для оценки интеграла (169.8) воспользуемся тем обстоятельством, что коэффициент прохождения имеет максимальное значение при (это соответствует максимуму энергии электронов а затем по мере роста быстро убывает. По

этой причине основной вклад в интеграл (169.8) дают электроны с малыми значениями и мы можем воспользоваться разложением

Вводя теперь обозначение

находим

и

Здесь снова подынтегральное выражение быстро убывает с ростом поэтому, не внося заметной ошибки, интегрирование можно распространить до бесконечности, так что окончательно

Числовой пример. Согласно формулам (169.10) и (169.11), плотность тока электронов быстро падает с ростом работы выхода и с уменьшением напряженности электрического поля Если напряженность поля измерять в вольтах на сантиметр, работу выхода — в электронвольтах, а плотность тока — в амперах на квадратный сантиметр, то формулы (169.10) и (169.11) примут вид

Если величина имеет порядок 1, то для плотности тока следует ожидать значение порядка Это значит, что почти каждый электрон, ударяющийся о поверхность, покидает металл. Разумеется, в этом случае ни сама модель, ни приближенный метод расчета совершенно непригодны. С увеличением значений плотность тока быстро падает, поэтому разумно спросить, для каких значений напряженности поля при разных значениях работы выхода мы можем ожидать плотность тока

Приведенная ниже таблица дает ответ на поставленный вопрос:

Так как для металлов работа выхода всегда имеет порядок нескольких электронвольт, то для полей, напряженность которых меньше В/см, холодная эмиссия должна отсутствовать. Эксперименты же показывают, что пороговое значение напряженности поля имеет порядок В/см. Такое сильное расхождение, разумеется, нельзя объяснить тепловыми возбуждениями ферми-газа: учет их позволяет понизить работу выхода на величину порядка при обычных температурах). Как показано в следующей задаче, полученное противоречие удается устранить, приняв во внимание силы электростатического изображения.