Задача 209. Отражение от прямоугольной потенциальной ступеньки при наклонном падении
Частица, описываемая плоской волной со смешанной спиральностью, падает наклонно на потенциальную ступеньку. Вычислить коэффициент отражения и доказать, что плотность тока непрерывна на поверхности, где потенциал испытывает скачок.
Решение. Плотность электрического тока
можно следующим образом выразить через компоненты спинора 
в стандартном представлении:
В случае плоской волны экспоненциальные множители, входящие в 
взаимно сокращаются. Что же касается постоянных спинорных амплитуд (208.5), то при нашем выборе системы координат, благодаря которому 
их можно, не нарушая общности, считать действительными. При этом, как и следовало ожидать, 
Для падающей волны две другие компоненты плотности тока имеют вид
Отсюда после очевидных упрощений получаем
Аналогичные формулы справедливы для отраженной волны:
и для прошедшей волны 
Чтобы вычислить эти плотности токов, мы сначала выразим амплитуды 
через амплитуды 
падающей волны, решив для этого систему линейных уравнений (208.6) или эквивалентную ей систему (208.8а), (208.86). В результате элементарных, но довольно трудоемких вычислений получаем
где
Из соотношений (209.4) и (209.5) далее находим
Подставляя выражения (209.6) в соотношения (209.7), после простых, но довольно длинных преобразований получаем
и
Теперь нетрудно выразить плотности токов отраженных и прошедших частиц через плотность тока падающих частиц; например, для z-компонент, перпендикулярных плоскости, на которой
потенциал испытывает скачок, имеем
и
Пользуясь далее обозначениями (208.7), легко показать, что
и, следовательно,
Комбинируя соотношения (209.10) и (209.11) с соотношениями (209.8) и (209.9), находим
где А определяется по формуле (209.6). Из последних соотношений сразу же следует уравнение непрерывности
Отсюда же для коэффициента отражения получаем
В случае нормального падения 
коэффициент отражения имеет особенно простой вид:
