Если 
то гипергеометрический ряд не существует. В этом случае решение уравнения (3) можно получить с помощью предельного перехода
Если ни один из параметров 
с не является целым отрицательным числом или нулем, то ряд (46) сходится абсолютно и равномерно при 
Гипергеометрический ряд можно однозначно продолжить во внешность единичной окружности 
с разрезом по лучу 
Для аналитического продолжения можно воспользоваться формулами
и
Применяя последнюю формулу, можно записать асимптотику функции 
при 
Общее решение гипергеометрического дифференциального уравнения при 
можно представить в виде 
Исключение составляет случай 
так как при этом оба частных решения, как непосредственно видно из соотношения (5), совпадают. Второе линейно независимое решение в этом случае имеет логарифмическую особенность в точке 
Ниже приводится сводка формул, наиболее важных с точки зрения практических приложений гипергеометрической функции
. С помощью подстановки
кроме 
где 
это уравнение имеет не обращающееся в нуль при 
регулярное решение. Указанное решение, нормированное в соответствии с условием 
называют гипергеометрическим рядом и обозначают посредством 
Решая дифференциальное уравнение (3) с помощью разложения в ряд в окрестности точки 
получаем
Если 
или 
где 
то гипергеометрический ряд обрывается на конечном члене и вырождается в полином степени 
Соответствующие полиномы называют полиномами Якоби и определяют соотношением
