Гипергеометрическая функция

Дифференциальное уравнение

имеет три правильные особые точки . С помощью подстановки

его можно представить в стандартной форме

Уравнение (3) называется гипергеометрическим дифференциальным уравнением Гаусса. Для любых значений параметров кроме где это уравнение имеет не обращающееся в нуль при регулярное решение. Указанное решение, нормированное в соответствии с условием называют гипергеометрическим рядом и обозначают посредством Решая дифференциальное уравнение (3) с помощью разложения в ряд в окрестности точки получаем

или

Эта функция инвариантна по отношению к замене параметра а параметром Если или где то гипергеометрический ряд обрывается на конечном члене и вырождается в полином степени Соответствующие полиномы называют полиномами Якоби и определяют соотношением

Полиномы Якоби образуют ортогональную систему, причем условие ортогональности имеет вид

Если то гипергеометрический ряд не существует. В этом случае решение уравнения (3) можно получить с помощью предельного перехода

Если ни один из параметров с не является целым отрицательным числом или нулем, то ряд (46) сходится абсолютно и равномерно при Гипергеометрический ряд можно однозначно продолжить во внешность единичной окружности с разрезом по лучу

Для аналитического продолжения можно воспользоваться формулами

и

Применяя последнюю формулу, можно записать асимптотику функции при

Общее решение гипергеометрического дифференциального уравнения при можно представить в виде Исключение составляет случай так как при этом оба частных решения, как непосредственно видно из соотношения (5), совпадают. Второе линейно независимое решение в этом случае имеет логарифмическую особенность в точке

Ниже приводится сводка формул, наиболее важных с точки зрения практических приложений гипергеометрической функции

Формулы для производных: