Задача 168. Парамагнитная восприимчивость металла
Для нулевой температуры определить парамагнитную восприимчивость металла, рассматривая электроны проводимости как ферми-газ. Поляризуемость ионов кристаллической решетки не учитывать.
Решение. Согласно результатам предыдущей задачи, электроны проводимости образуют ферми-газ, причем предельная энергия электронов (энергия Ферми) определяется выражением
где 
число электронов проводимости в единице объема. Разность энергий Д? двух соседних электронных уровней находится из соотношения
Отсюда для уровней, расположенных вблизи энергии Ферми, получаем
Действительно, можно написать
а вместо 
подставить выражение (168.1). При нулевой температуре все уровни, для которых 
заняты парами электронов с противоположно ориентированными спинами, а все уровни, для которых 
свободны.
Если теперь поместить металл в магнитное поле, то можно добиться выигрыша в энергии, разделяя электронные пары и ориентируя спины каждой пары электронов параллельно магнитному полю 
Если разделены 
таких электронных пар, то выигрыш в энергии, очевидно, составит
Разделение электронной пары, разумеется, возможно только в том случае, если хотя бы один из принадлежащих ей электронов переводится на незанятый уровень, лежащий выше уровня 
Фиг. 66. Спин-флип вблизи поверхности Ферми, вызванный магнитным полем.
Но это означает, что выигрыш в энергии (168.4) тратится на увеличение кинетической энергии электронов. Обратившись к фиг. 66, видим, что на разделение первой пары, т. е. на перевод одного электрона с самого верхнего занятого уровня на самый нижний незанятый уровень, требуется энергия 
на разделение второй пары—энергия 
на разделение третьей пары — энергия 
и т. д. В общем случае на разделение 
пар требуется затратить энергию
Состояние равновесия достигается при условии, что полное изменение энергии 
вызванное магнитным полем,
имеет минимум, т. е.
Таким образом, при равновесии
причем
Если производится разделение большего числа пар, то полная энергия электронного газа вновь возрастает. При равновесии
суммарный магнитный момент куска металла будет равен
и, вспоминая определение парамагнитной восприимчивости, можно написать
Учитывая теперь соотношения (168.3) и (168.1), находим
Для получения числовых значений плотность электронов проводимости следует выразить через плотность металла 
массу одного его атома 
(А — атомный вес) и его валентность 
Мы, очевидно, имеем
и, следовательно,
При сравнении этого результата с экспериментальными данными из последних необходимо вычесть диамагнитную восприимчивость ионов кристаллической решетки.
Замечание. В задаче 160 была вычислена диамагнитная восприимчивость неона, практически она должна совпадать с диамагнитной восприимчивостью ионов 
Как было найдено,
Учитывая, что плотность металлического натрия составляет примерно 
, в принятых нами единицах получаем
С другой стороны, согласно (168.11), вклад электронов проводимости в этом случае равен
Мы видим, что обе величины имеют один и тот же порядок, поэтому некоторые металлы (например, цезий) могут оказаться даже диамагнетиками.
Литература
(см. скан)
