Функции Лежандра

Дифференциальное уравнение

принадлежит к уравнениям гипергеометрического типа с тремя особыми точками: Общее решение уравнения

(1) можно записать в виде

где первое и второе слагаемые представляют если отвлечься от нормировочных множителей, так называемые функции Лежандра первого и второго родов, которые обычно обозначают соответственно через

Если целое число то функция Лежандра первого рода вырождается в полином. Когда где действительное число и или полиномы

Лежандра, будучи связаны со сферическими гармониками соотношением

имеют простой геометрический смысл.

Свойства полиномов Лежандра. Эти полиномы образуют ортогональную систему:

Первые пять полиномов имеют вид

Все они либо четные, либо нечетные функции переменной х. Четность полиномов Лежандра определяется четностью индекса I:

Полиномы с можно получить с помощью рекуррентного соотношения

Полиномы Лежандра и их производные связаны простым соотношением

из которого, в частности, следует

При имеем

и

Если ввести новую переменную то определение (2) полиномов Лежандра можно представить в иной форме:

Когда а модуль по порядку величины равен , последний ряд упрощается и мы получаем

причем ошибка этого приближения имеет порядок Что же касается корней полиномов то и при больших значениях угла они довольно хорошо описываются приближенной формулой (11). Для случая полином Лежандра и соответствующая ему аппроксимирующая функция Бесселя показаны на фиг. 55 (том 1, стр. 284).

О соотношениях, связанных с геометрической интерпретацией, см. раздел, посвященный сферическим гармоникам.

Функции Лежандра первого рода. Когда не является целым числом, ряд (10) уже не обрывается на конечном члене, и становится трансцендентной функцией с особенностями в точках Эту функцию можно разложить в ряд по полиномам Лежандра:

Ряд (12) — частный случай разложения функции

с коэффициентами

Так как полиномы Лежандра образуют полную ортогональную систему, то такое разложение возможно для широкого класса функций.

Приведем примеры часто используемых разложений:

В физических приложениях обычно так что

Ряды (14) и (15) сходятся при всех действительных значениях переменной у. Другой важный пример:

Последнее разложение можно также использовать в качестве определения полиномов Лежандра.

Функции Лежандра второго рода. Рассмотрим разложение

где произвольное комплексное число, не принадлежащее отрезку действительной оси . Функция определенная соотношением

называется функцией Лежандра второго рода. В силу симметрии разложения (16а) по отношению к переменным z их эти функции должны удовлетворять тому же самому дифференциальному уравнению (1), которому удовлетворяют полиномы Лежандра Функции Лежандра второго рода имеют при логарифмические точки ветвления. Приведем явные выражения для трех

первых функций Лежандра второго рода:

Выражения для функций более высокого порядка можно получить с помощью рекуррентного соотношения (7), которое справедливо для функций так же как и для полиномов . В общем случае функция имеет вид

где полином степени. Этот полинбм является четным, если четен индекс и нечетным в противном случае.