Задача 153. Определитель Слэтера и обменное взаимодействие

Система описывается антисимметризованной волновой функцией предыдущей задачи. Определить среднее значение оператора

отвечающего парному взаимодействию частиц.

Решение. Пользуясь теми же обозначениями и нормировкой, что и в предыдущей задаче, можно записать среднее значение одного члена суммы (153.1) в виде

Все функции аргументы которых отличаются от должны входить в перестановки одинаковым образом, чтобы соответствующее слагаемое в сумме (153.2) не обратилось в нуль. Так как в нашем распоряжении имеются такие функции и столько же аргументов, то мы можем переставлять их различными способами. Если все эти частичные перестановки одинаковым образом входят в полные перестановки то на долю аргументов в каждом неисчезающем члене суммы (153.2) остается только одна пара функций, например, Таким образом, имеем

В первом классическом члене из фигурных скобок перестановки одинаковы даже по отношению к аргументам поэтому здесь эти перестановки совпадают полностью. Во втором обменном члене перестановки отличаются на одну транспозицию что как раз приводит к появлению знака минус.

Рассмотрим теперь сумму (153.1) таких операторов Мы имеем

В этой формуле индексы являются немыми переменными, поэтому сумма 2 состоит из одинаковых слагаемых (члены считаются здесь различными). Следовательно, искомое среднее значение оказывается равным

Здесь символы 1 и 2, конечно, совершенно произвольны.

Следует снова подчеркнуть, что как в этой задаче, так и в предыдущей, каждая одночастичная волновая функция зависит и от пространственных координат и от спинового состояния.