Задача 131. Алгебра спиновых матриц
Показать, что три матрицы Паули вместе с единичной матрицей образуют полный набор линейной алгебры.
Решение. Если 
образуют полный базис, то это означает, что в результате сложения или умножения элементов вида
где 
— произвольные комплексные числа, нельзя получить элементов, не принадлежащих рассматриваемой алгебре. Для сложения это очевидно, что же касается умножения пары элементов, то в справедливости сделанного утверждения еще предстоит убедиться. С этой целью мы составим для матриц Паули таблицу умножения.
Пусть 
произвольная циклическая перестановка трех индексов х, у, z, тогда матрицы 
должны удовлетворять перестановочным соотношениям
и нормировочным соотношениям
Кроме того, как нетрудно проверить, матрицы Паули антикоммутативны:
Таким образом, складывая и вычитая равенства (131.2) и (131.4), получаем
Следовательно, произведение любой пары базисных элементов, если отвлечься от комплексного числового коэффициента, снова является базисным элементом:
(см. скан)
Следует обратить внимание, что произведение всех трех матриц Паули имеет очень простой вид
Заметим также, что, согласно приведенной таблице, не имеющие собственных значений операторы 
должны удовлетворять равенствам вида
Этот интересный результат означает, что в алгебре матриц Паули квадрат ненулевого элемента может быть равен нулю. В этой связи следует заметить, что в рассматриваемой алгебре не существует элементов, обратных элементам 
Ненулевой элемент алгебры, 
удовлетворяющий соотношению
называется идемпотентным элементом. В нашей алгебре такие элементы имеют вид
В матричном представлении, например, получаем
Действие операторов 
на базисные векторы гильбертова пространства 
дает
Таким образом, эти операторы, действуя на состояния со смешанной спиновой ориентацией, подавляют либо 
либо 
-компоненту смеси
так что в результате получается вектор, совпадающий по направлению с одним из базисных векторов гильбертова пространства. По этой причине указанные операторы называются проекционными операторами.
Замечание. Алгебра матриц Паули по существу совпадает с алгеброй кватернионов, в которой вместо величин в качестве базисных элементов используются величины 
