Задача 206. Рассеяние в поле центральных сил

Частица, описываемая дираковской плоской волной с положительной спиральностью, рассеивается на сферически симметричном потенциале. Получить формулу для асимптотики рассеянной волны, считая, что фазы рассеяния можно взять из решений радиальных волновых уравнений.

Решение. Как было показано в задаче 201, имеется два типа радиальных уравнений.

где

Легко видеть, что для потенциалов убывающих быстрее решения этой системы уравнений асимптотически ведут себя в соответствии с формулами

и

Относительный сдвиг фаз функций равен а их амплитуды при данной произвольной нормировке связаны между собой таким образом, что в нерелятивистском пределе, когда функции становятся радиальными частями соответственно большой и малой компонент волнового спинора. Если функция выбрана действительной, то функция будет чисто мнимой. Фазы рассеяния а, определяются путем интегрирования системы уравнений (206.1а) при граничных условиях . В нерелятивистском пределе поэтому для больших расстояний можно написать

Тип II

Асимптотическое поведение решений этой системы определяется формулами

и

где фаза рассеяния вообще говоря, отличается от фазы рассеяния Так как система уравнений (206.16) получается из системы уравнений (206.1а) путем замены параметра параметром то в нерелятивистском пределе функция, становится радиальной частью большой компоненты волнового спинора, а функция -радиальной частью его малой компоненты. Таким образом, в нерелятивистском пределе имеем следо-. вательно,

Как мы видели в задаче 201, при каждом значении квантового числа имеется два волновых спинора и описывающих состояния, в которых проекция полного момента на ось z достоверно равна (в единицах Их асимптотика имеет вид

Общее решение всегда можно записать в форме суперпозиции рассмотренных выше частных решений:

Здесь индекс суммирования можно заменить на таким образом, чтобы во всех суммах фигурировали лишь сферические гармоники 1-го порядка. В результате асимптотику выражения (206.5) можно записать в виде

По своей структуре последнее выражение очень напоминает плоскую волну (205.11), в которую оно переходит, если для всех значений В этой связи плоскую волну целесообразно записать в виде

где

Как известно, граничное условие для задач рассеяния состоит в том, что при разность

содержит лишь расходящиеся сферические волны и не содержит пропорциональные сходящиеся сферические волны. Только в этом случае функцию можно отождествить с рассеянной волной. С учетом формулы (206.6) указанное граничное условие приводит к следующим четырем уравнениям для определения

коэффициентов:

Эти уравнения удовлетворяются в том и только в том случае, если

С помощью последних соотношений нетрудно показать, что асимптотическое поведение рассеянной волны описывается формулой

Задача 207. Гладкая потенциальная ступенька

На потенциальную ступеньку, описываемую формулой

со стороны отрицательных z падает плоская дираковская волна

с положительной спиральностью Определить коэффициент прохождения для различных высот потенциальной ступеньки:

случай a: ,

случай б:

случай в: .

Характерные особенности указанных случаев проиллюстрированы на фиг. 72.

Решение. Потенциал, описываемый формулой (207.1), изменяется от значения при до значения при Указанное изменение значений потенциала фактически происходит вблизи точки в пределах слоя толщиной Рассматриваемый потенциал представляет частный случай потенциала задачи 197.

Фиг. 72. Потенциальные ступеньки различной высоты. Области допустимых значений энергии частицы заштрихованы.

Для положительной спиральности компоненты волновой функции и обращаются в нуль и дело сводится к решению системы двух дифференциальных уравнений:

где

Вместо компонент введем их симметричную и антисимметричную комбинации:

Для функций вместо (207.3) получается более простая система уравнений вида

из которой нетрудно исключить одну из них, например Имеем

Решив это уравнение при соответствующих граничных условиях, мы затем с помощью второго уравнения (207.6) найдем функцию

Если вместо z перейти к новой независимой переменной

то коэффициенты дифференциального уравнения (207.7) станут рациональными функциями х. Учитывая соотношения

и вводя безразмерные параметры

(величина играет у нас роль единицы энергии), можно придать уравнению (207.7) следующую форму:

Последнее уравнение после очевидной замены

где

сводится к уравнению для гипергеометрической функции

В дальнейшем нам понадобится, как мы сейчас убедимся, только решение, регулярное в точке Такое решение имеет вид

Рассмотрим граничные условия. Согласно соотношению (207.8), имеем

Далее, согласно равенствам (207.10) и (207.13),

поэтому величина всегда является чисто мнимым параметром, пропорциональным импульсу падающей частицы В окрестности точки гипергеометрическую функцию (207.15) можно преобразовать с помощью формулы

Таким образом, из (207.8) и (207.15) при имеем

Учитывая далее, что

получаем

где

и

Выражение для амплитуды А отличается от выражения для амплитуды В лишь знаком перед величиной Как можно было ожидать исходя из физических соображений, функция при больших отрицательных значениях z представляет собой суперпозицию падающей волны с амплитудой А и отраженной волны

с амплитудой В. Таким образом, частное решение (207.16) удовлетворяет граничным условиям при больших отрицательных значениях z. Функция также состоит из суперпозиции двух типов волн. В этом можно убедиться, подставляя асимптотическое решение (207.17) в уравнение (207.6). Указанная подстановка дает

Плотность электрического тока [см. задачу 198, соотношение (198.13)], если отбросить интерференционные члены, состоит из двух частей. Действительно,

и, следовательно,

где плотности тока падающих и отраженных частиц соответственно равны

и

а энергия и импульс частицы связаны соотношением

Перейдем теперь к обсуждению поведения волновой функции в правой части потенциальной ступеньки, т. е. вблизи точки или, другими словами, при Из формул (207.12) и (207.15) непосредственно следует

где, согласно соотношениям (207.10) и (207.13),

Теперь должны по отдельности разобрать три случая, указанные в условии задачи. Если или (случаи а и б), то величина положительная следовательно, величина действительная. Если же (случай б), то величина чисто мнимая, а величина действительная. В этом последнем случае при вид выражения

(207.24) говорит о том, что мы имеем дело с полным отражением падающей волны, так что коэффициент отражения

должен равняться единице.

В этом нетрудно убедиться, взяв для амплитуд выражения (207.18а) и (207.186) и воспользовавшись тождеством

Имеем

Так как величина всегда чисто мнимая,

то третий сомножитель в (207.27) не дает никакого вклада в абсолютную величину отношения Если величина действительная (случай б), то второй сомножитель также является отношением двух комплексно сопряженных величин и, следовательно, не дает вклада в абсолютную величину рассматриваемого отношения. Таким образом, имеем

поэтому из (207.26) действительно следует, что 1. В случаях а и в - мнимая величина) в области далеко справа существует бегущая волна, поскольку

и, кроме того, согласно уравнению (207.6),

В этих выражениях импульс прошедших частиц, а Плотность электрического тока прошедших частиц в силу соотношения (207.20) имеет вид

Отсюда с учетом выражения (207.22) для коэффициента прохождения получаем формулу

Чтобы теперь вычислить величину , мы, кроме тождества

воспользуемся общей формулой

Учитывая, что

с помощью (207.18а) получаем

При подстановке последнего выражения в формул (207.29) в ней появляется множитель

который, как легко показать, равен единице. Действительно, заменяя здесь на и учитывая, что

получаем

Таким образом, выражение для коэффициента прохождения принимает вид

В знаменателе этого выражения удобно выделить характеристическую величину пропорциональную произведению высоты ступеньки на ее ширину и не зависящую от энергии частицы:

В случае а мы имеем или Этот случай можно назвать нормальным: он имеет место и в нерелятивистской теории. С другой стороны, в случаев и, следовательно, Волна проникает в область отрицательных энергий (см. фиг. 72), где положительному импульсу сопутствует отрицательный электрический ток. В пределе или

выражение (207.32) упрощается и принимает вид

Отсюда видно, что проницаемость потенциальной ступеньки при переходах от положительных энергий к отрицательным быстро падает по мере роста "эффективного размера" ступеньки Так как в случае в, то экспонента в выражении для коэффициента прохождения дает вклад, который заведомо меньше

где - комптоновская длина волны.

Литература

(см. скан)