Задача 193. Пространственная инверсия

Выяснить, как ведут себя лоренц-ковариантные величины, рассмотренные в предыдущей задаче, при инверсии пространственных координат (преобразование четности).

Решение. Прежде всего выясним, как ведет себя при пространственной инверсии спинор По определению при пространственной инверсии,

уравнение Дирака

переходит в уравнение

и

Операторы так же преобразуются по закону (193.1). Более подробный анализ требуется в случае, когда имеется электромагнитное поле. Компоненты напряженности электрического поля связаны с компонентами 4-вектора потенциала соотношениями

Так как напряженность электрического поля представляет собой полярный -вектор, то она при рассматриваемом преобразовании координат меняет свой знак. Отсюда следует

Таким образом, величины Ли преобразуются так же, как операторы др. По этой причине по тому же самому закону

преобразуются и операторы Следовательно, уравнение (193.2а) можно переписать в виде

Если теперь положить

то легко видеть, что последнее уравнение переходит в уравнение (193.2), поэтому равенство (193.4) представляет собой искомый закон преобразования спинора при пространственной инверсии.

Что касается любой из величин

то их закон преобразования гласит:

и, следовательно, можно написать

Применим полученные результаты к каждой из пяти лоренц-ковариантных величин, введенных в предыдущей задаче. Мы имеем

Обе рассматриваемые величины одинаковым образом ведут себя при пространственных вращениях, но при пространственной инверсии их поведение различно. В этой связи величину 1 называют скаляром, а величину 5 — псевдоскаляром. Далее мы имеем

Эти две величины также ведут себя при пространственных вращениях совершенно одинаково, но при пространственной инверсии их поведение различно, по этой причине величину 2

называют (полярным) вектором, а величину 4—аксиальным вектором, или псевдовектором.

Так как в рассматриваемой теории имеется всего один тензор, то необходимость в дальнейшей классификации отпадает.