Задача 184. Борновское рассеяние в импульсном представлении
Пользуясь импульсным представлением и ограничиваясь первым порядком нестационарной теории возмущений, получить выражение для дифференциального сечения рассеяния. Считать, что возмущение включается в момент времени 
а затем остается постоянным.
Решение. Как было показано в задаче 14, при переходе к импульсному представлению нестационарное уравнение Шредингера
заменяется интегро-дифференциальным уравнением вида
где 
и 
соответственно фурье-образы 
и 
(нормировка та же, что и в задаче 14). Уравнение (184.2) можно несколько упростить, введя вместо 
новую функцию:
Мы имеем
При решении уравнения (184.4) в первом порядке теории возмущений функцию 
в подынтегральном выражении следует заменить невозмущенной волновой функцией
которая представляет собой фурье-образ плоской волны:
В результате уравнение (184.4) приобретает вид
Решением этого уравнения служит функция
Следовательно, вероятность обнаружить частицу с импульсом 
внутри интервала 
в момент времени 
(см. задачу 15) дается выражением
где для краткости мы положили
Так как
и
то вероятность перехода, определенная равенством
после интегрирования по 
принимает вид
причем выше (см. задачу 183) 
Дифференциальное сечение связано по определению с вероятностью перехода соотношением
поэтому
В случае центрального взаимодействия эту общую формулу можно несколько упростить, так как при вычислении
удается провести интегрирование по угловым переменным. Мы имеем
переданный импульс (в единицах 
причем К и угол рассеяния 
связаны соотношением
описывающей состояние частицы в импульсном представлении, к функции 
соответствует в общем случае переходу от картины Шредингера к картине Дирака (представление взаимодействия). В отсутствие взаимодействия 
функция 
не зависела бы от времени 
Формула для сечения рассеяния (184.14) была нами выведена ранее в задаче 105. Заметим также, что фурье-образ 
с точностью до нормировочного множителя есть матричный элемент потенциала 
в обычном пространстве:
