Задача 151. Теорема вириала

Доказать, что для любой квантовомеханической системы частиц, удерживаемых вместе кулоновскими силами, справедлива теорема вириала:

Доказательство провести с помощью масштабного преобразования координат, сохраняющего нормировку волновой функции рассматриваемой системы.

Решение. Волновая функция системы частиц с массами и электрическими зарядами удовлетворяет уравнению Шредингера

и условию нормировки

Средние значения кинетической и потенциальной энергий системы в состоянии определяются формулами

Масштабное преобразование

оставляющее в силе условие (151.2), означает, что волновая функция

заменяется функцией

Подставляя выражение (151.5) в формулы (151.3а) и (151.36) и переходя к новым переменным интегрирования (151.4), а также учитывая, что

мы вместо истинного значения энергии

получаем выражение

которое, очевидно, должно иметь минимум в том случае, когда из семейства функций (151.5) выбирается функция, являющаяся решением уравнения Шредингера, т. е. при условии Следовательно, при выражение

должно обращаться в нуль, и поэтому

что и требовалось доказать.

Замечание. Для приближенных решений справедливость теоремы вириала не обязательна, тем более интересно, что ее можно доказать для статистической модели атома Томаса — Ферми (см. задачу 175).