Задача 151. Теорема вириала
Доказать, что для любой квантовомеханической системы частиц, удерживаемых вместе кулоновскими силами, справедлива теорема вириала:
Доказательство провести с помощью масштабного преобразования координат, сохраняющего нормировку волновой функции рассматриваемой системы.
Решение. Волновая функция системы
частиц с массами
и электрическими зарядами
удовлетворяет уравнению Шредингера
и условию нормировки
Средние значения кинетической и потенциальной энергий системы в состоянии
определяются формулами
Масштабное преобразование
оставляющее в силе условие (151.2), означает, что волновая функция
заменяется функцией
Подставляя выражение (151.5) в формулы (151.3а) и (151.36) и переходя к новым переменным интегрирования (151.4), а также учитывая, что
мы вместо истинного значения энергии
получаем выражение
которое, очевидно, должно иметь минимум в том случае, когда из семейства функций (151.5) выбирается функция, являющаяся решением уравнения Шредингера, т. е. при условии
Следовательно, при
выражение
должно обращаться в нуль, и поэтому
что и требовалось доказать.
Замечание. Для приближенных решений справедливость теоремы вириала не обязательна, тем более интересно, что ее можно доказать для статистической модели атома Томаса — Ферми (см. задачу 175).