Задача 173. Поправка Амальди для нейтрального атома

В правую часть уравнения Пуассона, лежащего в основе модели Томаса — Ферми, правильнее было бы подставить не плотность заряда всех электронов, а плотность заряда, создаваемую электроном. Это связано с тем, что с помощью указанного уравнения определяется эффективный потенциал, в поле которого движется один отдельно взятый электрон. Выяснить, к каким изменениям приводит указанная поправка к модели Томаса — Ферми в случае нейтрального атома.

Решение. Вместо уравнения (172.1) теперь имеем

где означает потенциал, создаваемый ядром и электроном и действующий на не включенный в правую часть уравнения (173.1) электрон номер При таком упрощенном подходе безразлично, какой именно электрон мы рассматриваем в качестве пробного заряда, что, впрочем, вполне соответствует точности, свойственной статистической картине. Граничное условие при определяется зарядом ядра и, следовательно, остается прежним:

на границе же нейтрального атома теперь должно быть

так как один положительный ядерный заряд в данном случае остается незаэкранированным электроном и продолжает действовать на электрон, рассматриваемый нами в качестве пробного.

Другое основное уравнение, следующее из квантовой статистики, имеет прежний вид, так что снова можно написать

Исключая из уравнений (173.1) и (173.4) функцию и вновь вводя безразмерную функцию

получаем прежнее универсальное дифференциальное уравнение

в котором безразмерная независимая переменная определяется теперь соотношением причем

и - характерная длина, значение которой дается равенством (172.9).

Так как то на первый взгляд рассматриваемая поправка увеличивает размеры атома, хотя из физических соображений ясно, что эта поправка должна уменьшить отталкивание электронов, в результате они сильнее будут притягиваться ядром и размеры атома должны уменьшиться. На самом деле здесь нет никакого противоречия, поскольку теперь мы имеем дело с измененными граничными условиями. Для функции условия (173.3) записываются в виде

Эти условия могут удовлетворяться лишь при конечных значениях радиуса атома, что с лихвой компенсирует эффект расплывания атома, связанный с величиной а.