Задача 192. Лоренцевы коварианты

Пусть один из 16 базисных элементов клиффордовой алгебры. Выяснить, какие можно построить лоренцевы коварианты вида

Решение. 16 базисных элементов рассматриваемой алгебры можно разбить на пять групп:

Ниже для каждой из этих групп в отдельности мы будем конструировать билинейные формы вида (192.1).

Прежде чем приступить к выполнению намеченной программы, исследуем трансформационные свойства какой-нибудь одной из величин (192.1) относительно бесконечно малого преобразования Лоренца

В предыдущей задаче было показано, что закон преобразования волновой функции имеет вид

где

Величина преобразуется по закону

поэтому формально можно написать

Последнее выражение допускает дальнейшие упрощения, однако для этого надо более детально познакомиться со свойствами эрмитово сопряженного оператора Согласно соотношению (192.46), этот оператор должен удовлетворять перестановочному соотношению вида

так как Далее, углы поворота чисто мнимые величины, поэтому следовательно,

Таким образом, имеем

Кроме того, из соотношения (192.46) при (действительные вращения в -мерном пространстве) вытекает

и, следовательно, эрмитово сопряженный оператор можно записать в виде

Из двух последних соотношений получаем

Подставляя теперь выражение (192.8) в формулу (192.6), находим

Последний результат позволяет записать "преобразованный оператор" определенный равенством (192.5), в виде

Теперь нетрудно применить это простое соотношение к выводу трансформационных свойств каждой из пяти групп величин (192.2).

1. Для из соотношения (192.10) сразу же получаем, что поэтому

и, следовательно, величина в данном случае ведет себя как скаляр.

2. Для соотношения (192.10) и (192.46) дают

поэтому закон преобразования теперь имеет вид

и, следовательно, величины преобразуются как компоненты вектора.

3. При рассмотрении третьей группы величин удобно сначала разбить каждое произведение на симметричную и антисимметричную части:

Первая часть последнего выражения сводится к дельта-функции Кронекера т. е. представляет собой скаляр (192.11), умноженный на единичный тензор. Новые трансформационные свойства могут оказаться лишь у второй антисимметричной части, поэтому ниже мы ограничимся рассмотрением выражения

Согласно соотношению (192.46), имеем

или

поэтому закон преобразования теперь гласит:

т. е. величины ведут себя при бесконечно малых вращениях как компоненты тензора второго ранга.

4, Произведения трех величин можно записать в более удобном виде, если ввести клиффордово число определив его равенством

Мы имеем

Так как величина антикоммутирует со всеми четырьмя величинами

то она должна коммутировать с величиной поэтому, применяя соотношение (192.10) к выражению получаем

Таким образом, мы вновь возвращаемся к случаю 2, так что

и теперь величины преобразуются как компоненты вектора:

Точнее говоря, рассматриваемая величина представляет собой не вектор (полярный), а псевдовектор. Смотрите в этой связи следующую задачу.

5. В этом случае из соотношений (192.15) и (192.16) следует

и мы заключаем, что величина преобразуется как скаляр. В следующей задаче будет показано, что величину точнее было бы назвать псевдоскаляром.