IV. Многочастичные задачи

А. Малое число частиц

Задача 148. Две отталкивающиеся частицы на окружности

Две одинаковые точечные частицы находятся на гладкой окружности радиуса и взаимодействуют по закону

это может, например, служить моделью кулоновского отталкивания электронов в основном состоянии атома гелия. Вывести закон сохранения момента количества движения и рассмотреть относительное движение частиц.

Решение. Уравнение Шредингера

допускает разделение переменных, если перейти к новым координатам

описывающим относительное и "абсолютное" движение частиц. Действительно, подставляя выражения

в уравнение (148.2), приходим к уравнению

решение которого можно искать в виде

Теперь мы имеем

и

причем

Абсолютное движение частиц определяется уравнением (148.6). Учитывая, что оператор проекции суммарного орбитального момента нашей двухчастичной системы на ось z дается выражением

мы можем переписать уравнение (148.6) в виде

где - суммарный момент инерции обеих частиц. Последнее уравнение позволяет определить собственные значения оператора вращательной энергии. Так как решение уравнения (148.6) имеет вид

то допустимые значения вращательной энергии будут равны

Гораздо сложнее вопрос об относительном движении частиц, так как оно определяется дифференциальным уравнением Матье (148.5). Чтобы упростить последующие рассуждения, преобразуем уравнение (148.5) к стандартной форме, положив

Таким образом, получим

Мы будем интересоваться периодическими решениями с периодом по переменной а или, что то же самое, с периодом по переменной Так как в уравнении (148.11) коэффициент при функции четным образом зависит от угла то решения этого уравнения будут либо четными, либо нечетными функциями

Периодичность решений позволяет разложить их в ряды Фурье, поэтому мы имеем

Обычно принято обозначать собственные значения X посредством в случае четных решений и посредством в случае нечетных решений. В теории уравнения Матье показывается, что собственные значения можно расположить в следующем порядке:

На фиг. 61 приведена зависимость собственных значений от переменной Благодаря неравенствам (148.12) кривые на фиг. 61 не пересекаются. В случае имеем

Фиг. 61. Зависимость собственных значений X от глубины потенциальной ямы Величины даны в безразмерных единицах в соответствии с определениями (1 48.10). Прямыми линиями отмечены положения минимума и максимума потенциальной энергии.

В случае же очень больших справедливы асимптотические соотношения

Смысл соотношений (148.13) и (148.14) можно понять с помощью следующих элементарных рассуждений.

Если то уравнение (148.11) приобретает вид

и оба его периодических решения

принадлежат одному и тому же собственному значению Это полностью согласуется с соотношением (148.13).

Если, с другой стороны, значение очень велико, то вблизи точки мы будем иметь очень глубокую потенциальную яму, что практически почти полностью зафиксирует наши частицы на противоположных концах диаметра. В этом случае вместо переменной удобно ввести новую переменную

Из соотношений

следует, что функции ичет и онечет будут соответственно четными и нечетными функциями и по отношению к переменной Если потенциальная яма очень глубока, то в уравнении (148.11) можно написать

и оно приближенно перейдет в дифференциальное уравнение для гармонического осциллятора:

Как хорошо известно (см. задачу 30), собственные значения для этого уравнения равны

а собственные функции, относящиеся к четным (нечетным) четны (нечетны) по переменной Соотношение (148.17) почти полностью совпадает с соотношением (148.14), если отождествить решения при малых с решениями при больших по схеме:

(см. скан)

Дополнительные постоянные, фигурирующие в формулах (148.14), можно получить, удержав в разложении еще один член,

а затем воспользоваться теорией возмущений. В результате получим

Как оказывается, этот дополнительный член обеспечивает полное согласие между формулами (148.18) и (148.14).

Замечание 1. На фиг. 61 мы изобразили диагонали двух координатных углов: нижняя диагональ отмечает положение минимума потенциальной энергии верхняя — положение ее максимума Собственные значения, разумеется, всегда располагаются выше линии минимума потенциальной энергии. Если они лежат ниже верхней диагонали, то соответствующие им состояния являются колебательными состояниями внутри потенциальной ямы. Так, например, при имеются четыре таких колебательных состояния, пятое же собственное значение соответствует состоянию либрационного типа. При либрации движение частиц захватывает всю окружность, так что временами положения обеих частиц совпадают. Первые четыре состояния можно было бы назвать ангармоническими колебаниями. Начиная же с пятого состояния по мере роста энергии движение все более и более приближается к движению невзаимодействующих независимых частиц.

Замечание Относительное движение двух частиц происходит в потенциальном поле того же вида что и в случае математического маятника. В классической механике эта задача сводится к эллиптическим интегралам, квантовая же задача требует для своего решения, как мы видели, функций Матье. Это снова показывает (см также задачу 40), насколько сложнее в математическом отношении ситуация в задачах квантовой механики по сравнению с аналогичными задачами классической механики.