Задача 176. Приближение Тайтца для модели атома Томаса — Ферми

В случае нейтрального атома вместо универсальной функции

Томаса — Ферми можно воспользоваться очень хорошим приближенным выражением

выбрав фигурирующий в нем параметр а надлежащим образом. Предполагая, что функция удовлетворяет точному условию нормировки и что а не зависит от найти числовое значение этого параметра, а также сравнить числовые значения функций

Решение. В задаче 172 было показано, что плотность электронов и потенциал атома (в атомных единицах)

связаны соотношением

Отсюда следует, что условие нормировки

можно записать в виде

Это равенство является для функции точным, если

Теперь мы заменим функцию приближенной функцией определяемой выражением (176.1), но будем считать, что условие нормировки по-прежнему остается в силе. После замены переменных получаем

Последний интеграл можно вычислить с помощью подстановки и Действительно, нетрудно проверить, что

Подстановка пределов интегрирования и дает значение и в силу (176.7) получаем

Отсюда с учетом соотношения (176.6) находим

Используя полученное значение параметра а, можно сравнить числовые значения функций Соответствующие данные приведены в нижеследующей таблице.

(см. скан)

Замечание. В оригинальных работах Тайтца [Tietz Т., Journ. Chem. Phys., 25, 787 (1956); Zs. Naturforsch., 23a, 191 (1968)] вместо нашего нормировочного множителя 0,60570 [равенство (176.8)] использован множитель 0,64309. Таким образом, приближение Тайтца не удовлетворяет точному условию нормировки. Однако в его приближении разности в наиболее существенной области несколько меньше наших, хотя при наше приближение лучше.