Задача 174. Энергия атома в модели Томаса — Ферми

Пользуясь моделью Томаса — Ферми, вычислить полную энергию нейтрального атома. Кроме того, с помощью вариационной процедуры, минимизирующей полную энергию атома, вывести дифференциальное уравнение для плотности электронов или соответствующее уравнение для электростатического потенциала

Решение. Полную энергию атома можно представить как сумму кинетической энергии электронов, потенциальной энергии взаимодействия электронов с ядром наконец, потенциальной энергии взаимодействия электронов между собой

Выражение для кинетической энергии можно написать, вспомнив, основные результаты задачи 167. Если плотность электронов, то средняя кинетическая энергия электрона,

находящегося на расстоянии от ядра, определяется выражением

где

Отсюда для суммарной кинетической энергии всех электронов находим

или

Выражения для потен и потен получаются непосредственно из соответствующих формул электростатики:

и

Таким образом, для полной энергии, т. е. для суммы выражений (174.2) — (174.4) можно написать

Теперь с помощью подходящего выбора функции мы должны минимизировать полную энергию, учитывая при этом уравнение связи

означающее, что полное число электронов равно Для решения поставленной вариационной проблемы необходимо рассмотреть уравнение

где — неопределенный множитель Лагранжа. После подстановки выражения (174.5) в уравнение (174.7) находим

Выше при написании последнего члена мы учли, что варьирование функций в двойном интеграле дважды приводит

к одному и тому же результату. Энергия будет экстремальна, если выражение, стоящее в фигурных скобках в (174.8), обращается в нуль.

Учитывая далее, что плотность электронов зависит только от и не зависит от угловых переменных, третий член в фигурных скобках с помощью разложения подынтегрального выражения по сферическим гармоникам можно представить в виде

Таким образом, в силу (174.8) имеем

Чтобы исключить X, продифференцируем полученное уравнение по

(Вклады от дифференцирования интегралов по переменным пределам взаимно уничтожаются.) Умножая последнее уравнение на и снова дифференцируя по мы избавляемся от интегрального члена и получаем дифференциальное уравнение вида

Для дальнейшего удобно перейти от плотности электронов к электростатическому потенциалу согласно задаче 172, они связаны соотношением

Учитывая теперь, что потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона

и вводя для краткости обозначение

находим уравнение

которое, если принять во внимание равенство

совпадает с уравнением, выведенным в задаче 172 другим способом.

Соотношения (174.10) и (174.11) позволяют избавиться от дробных степеней функции в формулах (174.2) — (174.4), где в зависимости от обстоятельств следует положить

Таким образом, имеем

Эти интегралы можно значительно упростить, приняв во внимание сферическую симметрию и вводя вместо функцию

Так как

то из формулы (174.14а) теперь следует

Аналогично с помощью (174.146) получаем

Чтобы вычислить интеграл, входящий в формулу (174.14в), прежде всего заметим, что

Таким образом, вместо (174.14в) теперь имеем

Вместо переменной удобно использовать безразмерную переменную х, определив ее соотношениями

(см. задачу 172). Так как при малых или, что то же самое, при малых х имеет место разложение

то в формулах (174.16а) — (174.16в) можно положить

Отсюда окончательно получаем

где

Выше и производная и интеграл не зависят от поскольку они определяются исключительно универсальной функцией Таблица значений функции приведена в задаче 172. С помощью этой таблицы находим

Отсюда для полной энергии атома, т. е. для суммы трех выражений (174.18), получаем

Так как то полная энергия пропорциональна