Задача 145. Электрический квадрупольный и магнитный днпольный моменты дейтрона

Считая заданной волновую функцию дейтрона, определенную в предыдущей задаче,

а) вычислить электрический квадрупольный момент дейтрона и выразить его через интегралы

б) найти среднее значение магнитного дипольного момента дейтрона.

Решение

а. Тензор квадрупольного момента (см. задачу 61) в данном случае имеет вид

В первоначальное определение этого тензора множитель 1/4 не входил. Появление его здесь объясняется следующим. Так как нейтрон не несет электрического заряда, то вклад в квадрупольный момент дейтрона дает лишь один протон, радиус-вектор которого относительно центра масс равен . У дейтрона в состоянии с распределение заряда аксиально симметрично относительно оси поэтому усреднение компонент тензора квадрупольного момента по углу приводит к соотношениям

Следовательно, нам необходимо вычислить лишь среднее значение оператора которое определяется формулой

Подставляя сюда волновую функцию дейтрона, найденную в предыдущей задаче,

и учитывая ортонормированность спиновых функций, получаем

В этом выражении член, содержащий исчезает благодаря ортогональности сферических функций. С произведением связан тривиальный интеграл

Несколько труднее вычислить три оставшихся интеграла, связанных с Мы приводим лишь окончательные результаты:

Собирая вместе все эти соотношения, приходим к следующей простой формуле:

Если в процентном отношении примесь -состояния к -состоянию мала, то малым будет и параметр . В таком случае второй отрицательный член в формуле (145.6) будет играть роль малой поправки по отношению к положительному первому члену и величина окажется положительной. Это означает, что дейтрон обладает вытянутой формой вдоль оси z. Последний вывод подтверждается экспериментом.

б. Магнитный дипольный момент складывается из спиновой части, и из орбитальной части, вклад в которую, разумеется, дает только один протон. Компонента орбитального момента для рассматриваемой двухчастичной системы дается выражением

оба слагаемых этой компоненты вносят одинаковый вклад в

битальный момент относительно центра масс. В магнитный же момент вклад дает только первое слагаемое, поэтому в выражение для магнитного момента оператор войдет с множителем

Среднее значение z-компоненты магнитного момента определяется формулой

средние же значения двух других компонент равны нулю.

Применяя операторы к триплетным спиновым функциям, получаем соотношения

Поэтому, кратко записав дейтронную волновую функцию в виде

получаем

С учетом ортонормированности спиновых функций последнее выражение принимает вид

Далее [см. формулу (144.5)] имеем

поэтому

и, следовательно,

Заменяя в этом выражении функции нормированными функциями согласно (144.7), и беря в качестве

единицы ядерный магнетон, приходим к формуле

Таким образом, поправка к магнитному моменту, обусловленная примесью -состояния, оказывается второго порядка малости.