Сферические гармоники

Если при разделении переменных в волновом уравнении используются сферические координаты

(ось z выбрана в качестве полярной оси), то угловая часть решения должна удовлетворять дифференциальному уравнению

где Производя дальнейшее разделение переменных

где получаем

Последнее уравнение с помощью замены переменной

приводится к виду

Уравнение является обобщением уравнения для полиномов Лежандра и переходит в него при Однако

это уравнение принадлежит к общим уравнениям гипергеометрического типа. Его единственное произвольно нормированное регулярное решение можно представить в форме

где Как оказывается, функции не являются новыми функциями и их можно выразить через функции Так как полином имеет отличные от нуля производные лишь в том случае, если их порядок не превышает то при данном значении I существует всего регулярных решений, для которых (напомним, что здесь целое число). Перейдем теперь к вопросу о нормировке. Мы будем придерживаться наиболее употребительного соглашения, которое лучше всего отражает геометрический смысл этих решений, всюду регулярных на поверхности единичной сферы:

и

или

Таким образом, для нормированных функций имеем

Чтобы включить отрицательные значения по определению положим

Явные выражения для сферических гармоник с приведены в томе 1 на стр. 183,184. При имеют место полезные соотношения

Рекуррентные соотношения. Существует целый ряд важных соотношений, связывающих сферические гармоники с соседними

значениями индексов

где

Повторное применение соотношений (10) и (11) позволяет преобразовывать выражения, содержащие произведения более высоких степеней и функции разумеется, при этом появляются сферические гармоники с индексами, отличающимися более чем на ±1 от индексов

Производные. Действуя на сферическую гармонику операторами

и

получаем

где определяются выражениями (12).

В теории момента количества движения большую роль играют эрмитовы операторы где

В сферических координатах имеем

и

Действуя на сферическую гармонику, операторы соответственно повышают и понижают индекс на 1:

Что же касается оператора то для него является собственной функцией, причем

Сферические гармоники, кроме того, являются собственными функциями оператора

и удовлетворяют уравнению

Отметим также полезные соотношения

Введенные здесь операторы отличаются от операторов проекций момента количества движения, использованных в этой книге, множителем

Ортогональность и часто встречающиеся разложения. Для сферических гармоник выполняются условия ортонормированности

Так как, далее, сферические гармоники образуют полную систему, то любую регулярную на единичной сфере функцию можно представить в виде

где коэффициенты разложения определяются формулой

Ниже приводятся примеры часто встречающихся разложений.

1. Разложения для полинома Лежандра где у — угол между векторами, концы которых лежат на единичной сфере в точках с координатами

Эта формула известна как теорема сложения.

2. Разложение плоской волны. Если плоская волна распространяется вдоль полярной оси, то в разложении участвуют

лишь полиномы Лежандра:

Доказательство этой формулы было дано в процессе решения задачи 81. Обращая формулу (25), получаем полезное интегральное представление сферических функций Бесселя:

Если плоская волна распространяется в направлении ректора со сферическими углами и то имеет место разложение общего вида

3. Сферическая волна, используемая в качестве функции Грина волнового уравнения. Пусть и - два радиус-вектора, направления которых характеризуются соответственно сферическими углами и пусть — угол между ними, тогда

где

В предельном случае отсюда получается хорошо известная формула