Задача 133. Электрон со спином в центральном поле

Найти волновые функции электрона со спином в поле не зависящих от спина центральных сил. Учесть, что волновые функции должны быть собственными функциями двух операторов

где и -соответственно орбитальный и спиновый моменты электрона.

Решение. Начнем с z-компоненты момента количества движения. Учитывая, что

можно написать

Собственные функции этого оператора имеют вид

где и - пока еще произвольные функции переменных гид. В этом нетрудно убедиться, подействовав оператором на функцию В результате получим

поэтому величина есть собственное значение оператора проекции полного момента на ось Смысл волновой функции (133.3) станет более очевидным, если переписать ее в виде

Мы видим, что первый член описывает зависимость функции от координат, если спин направлен вверх, а второй член описывает ту же зависимость, если спин направлен вниз. Этой координатной зависимостью определяется значение проекции орбитального момента на ось и оно должно быть таким, чтобы т. е. было целым числом. В случае спина, направленного вверх, мы получаем

а в случае спина, направленного вниз, имеем

Таким образом, является полуцелым числом. Этот результат представляет собой хорошо известное из векторной модели правило сложения моментов. Характерная особенность волновой функции (133.3) или (133.3а) состоит в том, что представляет собой "хорошее квантовое число", а число таковым не является, поскольку вектор есть смесь двух состояний, характеризующихся различными значениями квантового числа

Перейдем теперь к оператору Используя явный вид матриц Паули, входящих в оператор можно написать

Таким образом, мы должны решить следующую задачу на собственные значения:

причем выше по аналогии со случаем орбитального момента

мы произвольно обозначили искомое собственное значение посредством Чтобы сделать функцию общей собственной функцией операторов мы должны придать ей форму выражения (133.3) и, кроме того, должным образом определить зависимость функций от переменной Этого можно добиться, полагая, что

Сферические гармоники в. выражении (133.6) зависят от как раз таким образом, как это требуется согласно равенству (133.3). При расчете выражения в соответствии с соотношениями (133.5) и (133.6) мы воспользуемся общими формулами (см. задачу 56):

Окончательный результат имеет вид

Поэтому задача на собственные значения (133.5) сводится к двум линейным алгебраическим уравнениям относительно функций

(см. скан)

Тот факт, что нам удалось исключить сферические гармоники, показывает, что выбор функции в виде (133.6) действительно позволяет решить поставленную задачу. Таким образом, и при наличии спина число все еще является "хорошим" квантовым числом.

Уравнения (133.8) совместны только в том случае, когда функции отличаются друг от друга лишь постоянным множителем. Поэтому мы положим

а отношение можно будет найти из уравнений (133.8). Так как система линейных уравнений (133.8) однородна, ее определитель должен быть равен нулю:

Последнее соотношение, как очевидно, не зависит от квантового числа Это является одним из простейших следствий весьма общей теоремы Вигнера-Эккарта. Имеется два различных значения числа удовлетворяющих условию (133.10).

Решение I

Решение II

Оба решения нормированы. Так как во всех компонентах волновой функции в качестве множителей фигурируют сферические гармоники одного и того же порядка I, а потенциал

предполагается не зависящим от спина, функцию можно определить из радиального уравнения Шредингера

где

Замечание редактора перевода. Формула (133.11) остается справедливой и в случае так как при этом коэффициент, стоящий перед не имеющей смысла сферической гармоникой , тождественно равен нулю. Таким образом, в этом случае имеем

и

Что же касается второго решения, то при оно не существует, так как квантовое число по определению положительно.