§ 11.11. Проверка гипотез в линейных моделях

Во многих задачах с линейными моделями только что описанного типа представляет интерес проверка гипотезы о том, что параметр лежит в некотором подмножестве Подмножество часто задается как множество всех векторов удовлетворяющих линейным соотношениям вида

Здесь предполагается, что А — это -матрица ранга является -вектором. Поэтому существует хотя бы один вектор удовлетворяющий уравнению и множество не пусто. Например, в качестве можно взять множество всех векторов таких, что или множество всех векторов

В соответствии со сказанным в § 11.10 предположим, что имеет -мерное -распределение. Поскольку размерность

меньше к, то Однако, как объяснялось в § 10.12, мы можем считать, что имеет п. р. в. на пространстве и сравнивать максимальное на значение этой п. р. в. с ее максимальным значением на всем пространстве

Пусть обозначает п. р. в. случайного вектора Рассмотрим отношение

Значение у всегда не меньше 1. Весьма большие значения у означают существование векторов вне с гораздо большим значением функции правдоподобия, чем для любых из Значение близкое к 1, говорит о том, что нет векторов для которых значение функции правдоподобия много больше, чем для некоторых: значений из Если то максимальное значение по всем точкам в достигается в некоторой точке Найдем теперь значения указанных максимумов.

Пусть имеет А-мерное -распределение с степенями свободы, вектором сдвига и матрицей точности Для определим следующим образом:

Из равенства (9) § 5.6 следует, что для любого подмножества максимальное значение по точкам достигается в тех точках в которых квадратичная форма имеет минимум. В следующей теореме мы найдем минимальное значение в случае множества имеющего вид (1). Для доказательства этой теоремы нам понадобится неравенство Шварца [см., например, стр. 58]:

Неравенство Шварца. Если два вектора то

Знак равенства в (4) имеет место тогда и только тогда, когда существует число X, такое, что

Теорема 1. Если множество имеет вид (1), а функция задается равенством (3), то

Далее, это минимальное значение достигается в единственной точке определяемой равенством

Доказательство. Для произвольного вектора положим Подставляя это выражение в (1) и (3), видим, что нам надо найти минимум квадратичной формы по всем векторам х, таким, что где

Пусть вектор равен

Так как -матрица А имеет ранг отсюда следует, что -матрица также имеет ранг Поэтому обратная к ней матрица, фигурирующая в (7), действительно существует. Далее, легко заметить, что с и

Покажем, что для любого другого вектора х, такого, что Этим и завершится доказательство теоремы, так как соотношения (5) и (6) выводятся отсюда с помощью указанных преобразований.

Предположим сначала, что Тогда Далее, поскольку положительно определенная матрица, то только при Значит, в этом случае теорема верна.

Пусть теперь с произвольный вектор, для которого такая -матрица, что . В силу неравенства Шварца имеем Но нетрудно проверить, что значит, Далее, если то для некоторого числа Из предыдущего ясно, что тогда Так как а по предположению с 0, то Следовательно, если то

По поводу других результатов, связанных с теоремой 1, см. Рао (1965), стр. 64.

Из соотношения (3) видно, что минимальное значение в есть 0 и это значение достигается в точке Из выражения для многомерного -распределения и теоремы 1 следует, что отношение у [см. (2)] имеет вид

Таким образом, тогда и только тогда, когда и значение у увеличивается по мере того, как вектор удаляется от множества

Из. (9) следует, что при

Этот результат — переформулировка того факта, что при неограниченном увеличении числа степеней свободы многомерное -распределение сходится к многомерномунормальному распределению.

При вычислении предела в (10) мы предполагаем, что при вектор сдвига и матрица точности фиксированы. Однако в задачах множественной линейной регрессии, когда число наблюдений и число степеней свободы в апостериорном многомерном -распределении возрастают, изменяются также и и Имеется другой подход, заключающийся в том, что для произвольно большого, но фиксированного числа степеней свободы многомерное -распределение аппроксимируется многомерным нормальным распределением с вектором средних и матрицей точности П. р. в. этого многомерного нормального распределения содержит ту же квадратическую функцию что и многомерного -распределения. Поэтому, как легко показать, значение у, отвечающее многомерному нормальному распределению, равно предельному выражению (10). Таким образом, для больших значений это предельное выражение будет подходящим приближением к значению у, и можно использовать табл. 10.1, приведенную в § 10.12.