Теорема 1. Пусть 
повторная выборка из многомерного нормального распределения, для которого вектор средних 
неизвестен, а матрица точности имеет вид 
где 
известная положительно определенная матрица, а значение 
неизвестно. Предположим, далее, что априорное совместное распределение 
таково, что условное распределение 
при 
есть многомерное нормальное распределение с вектором средних 
и матрицей точности 
где 
симметрическая положительно определенная 
-матрица, а маргинальное распределение 
есть гамма-распределение с параметрами 
Тогда апостериорное совместное распределение 
при 
описывается следующим образом: условное распределение 
при 
есть многомерное нормальное распределение с вектором средних 
и матрицей точности 
где
а маргинальное распределение 
есть гамма-распределение с параметрами а 
где
Можно показать (см. упр. 45), что в случае, когда совместное распределение 
есть многомерное нормальное гамма—распределение, указанное в теореме 1, маргинальное распределение вектора средних 
есть многомерное 
-распределение с 
степенями свободы, вектором сдвига 
и матрицей точности 
Дальнейшие замечания и ссылки на литературу. Апостериорные распределения для параметров многомерного нормального распределения изучались Андо и Кауфманом (1965), Гейсером (1964, 1965а,b), Гейсером и Корнфилдом (1963). Вероятностные модели, связанные с моделью, указанной в теореме 1, будут использованы в гл. И для изучения некоторых проблем регрессии и дисперсионного анализа.
УПРАЖНЕНИЯ
(см. скан)
неизвестно, а матрица точности представляет собой произведение известной матрицы на неизвестное положительное число 
Другими словами, матрица точности имеет вид 
где 
известная симметрическая положительно определенная 
-матрица. Стандартная ситуация такого типа — это выбор из многомерного нормального распределения, про которое известно, что его компоненты независимы и имеют одну и ту же дисперсию, но значение этой дисперсии неизвестно. В этом случае 
неизвестная дисперсия компонент, а матрица точности имеет вид 
где I — единичная матрица.
