§ 10.8. Сходимость супернепрерывных функций

В этом параграфе мы докажем теорему, которая будет полезна при изучении свойств функции правдоподобия в следующем параграфе. В этой теореме речь идет о сходимости средних для супернепрерывных функций.

Предположим, что функция супернепрерывна в точке и существует среднее Согласно усиленному закону больших чисел с вероятностью 1

Пусть теперь некоторая состоятельная последовательность статистик, т. е. произвольная последовательность, удовлетворяющая соотношению (3) § 10.7. В следующей теореме доказывается справедливость предельного соотношения

Теорема 1. Пусть функция супернепрерывна в точке и существует Если некоторая состоятельная последовательность статистик, то с вероятностью 1 выполнено соотношение (2).

Доказательство. Пусть и некоторое фиксированное положительное число. Мы должны показать, что

с вероятностью 1 найдется натуральное число такое, что при всех

Для пусть функция, определенная соотношением (2) § 10.6. Если то

Так как по предположению функция супернепрерывна в точке то

Поэтому а можно выбрать настолько малым, чтобы Кроме того, в силу условий теоремы с вероятностью 1. Далее, из усиленного закона больших чисел выводим справедливость с вероятностью 1 следующих соотношений:

Значит, с вероятностью 1 существует число такое, что при всех верны следующие три неравенства:

Утверждение (3) следует теперь из (4) и (7).