§ 7.6. Выпуклые и вогнутые функции полезности

Выпуклые функции. Говорят, что вещественная функция определенная на интервале вещественной прямой, выпукла на если для любых двух точек х и у из и любого числа а, такого, что выполнено неравенство

Геометрически соотношение (1) означает, что отрезок прямой, соединяющей любые две точки кривой нигде между

этими двумя точками не лежит ниже кривой. Функция называется строго выпуклой на если в (1) имеет место строгое неравенство для всех пар различных точек х и у из Геометрически это означает, что функция выпукла и кривая не содержит линейных кусков. Примеры выпуклых функций даны на рис. 7.1.

Мы приведем теперь основной результат, известный как неравенство Йенсена и относящийся к математическим ожиданиям от выпуклых функций.

Рис. 7.1. (а) Строго выпуклая функция g. (б) Выпуклая функция g, не являющаяся строго выпуклой.

Эта теорема верна независимо от того, конечен или бесконечен интервал на котором задана выпуклая функция. Если концевая точка интервала конечна, то он может быть как открытым, так и замкнутым в этой точке.

Теорема (неравенство Йенсена). Пусть выпуклая функция на интервале и X — случайная величина, такая, что и существуют средние и Тогда

Далее, если функция строго выпукла и то в (2) имеет место строгое неравенство.

Доказательство. Если распределение X вырождено и сосредоточено в единственной точке, то оба математических ожидания в (2) равны между собой. Предположим, что наше распределение невырождено. Тогда Согласно одному из свойств выпуклых функций, существует опорная прямая касающаяся кривой в точке, где и на всем

интервале лежащая под этой кривой. Вид этой опорной прямой указан на рис. 7.2. Более точно,

и

Если в неравенстве (4) заменить х на случайную величину X и взять математические ожидания обеих частей этого неравенства, то получим

Соотношение (2) следует теперь из (5) и (3).

Рис. 7.2. Опорная прямая.

Далее, если функция строго выпукла, то при всех за исключением в (4) имеет место строгое неравенство. Так как по предположению то это строгое неравенство сохраняется и для математических ожиданий. Следовательно, неравенство (5) строгое. Этот факт вместе с (3) дает строгое неравенство в (2).

Рассмотрим теперь ситуацию, в которой множество R доходов является интервалом денежных выигрышей и функция полезности данного индивидуума строго выпукла на Из неравенства Иенсена следует, что тогда этот индивидуум предпочтет игру со случайным выигрышем X из интервала игре с заведомым выигрышем . В частности, если интервал содержит точку 0, то игру с нулевым средним он предпочтет тому, чтобы вообще не играть. По этим причинам можно назвать лиц со строго выпуклой функцией полезности любителями риска. Понятно, что два любителя риска будут заключать пари с равными ставками относительно того, выпадет герб или решка, поскольку они оба предпочитают играть, нежели смотреть.

Вогнутые функции. Вещественная функция определенная на интервале вещественной прямой, называется вогнутой на если функция выпукла на Таким образом, вогнута на если для любых двух точек х и у из и любого числа а, такого, что

Говорят, что функция строго вогнута на если функция — строго выпукла.

Предположим теперь, что функция полезности строго вогнута на интервале денежных выигрышей, как показано на рис. 7.3

Рис. 7.3. Строго вогнутая функция полезности.

Опять-таки из неравенства Иенсена следует, что в этом случае надо предпочесть фиксированный выигрыш х из интервала игре со случайным выигрышем X из для которого Лицо со строго вогнутой функцией полезности предпочитает избегать риска.

Функции полезности большинства людей вогнуты, по крайней мере в случае больших выигрышей или больших проигрышей. Люди страхуют свое имущество потому, что предпочитают уплатить фиксированную сумму риску потерпеть большой убыток с весьма малой вероятностью Другими словами, люди приобретают страховрй полис, предпочитая фиксированный выигрыш — х игре, доставляющей с вероятностью доход — и никакого дохода с вероятностью . Это предпочтение выражается соотношением

Функции не обязательно быть вогнутой на всем интервале, для того чтобы соотношение (7) было верным для одного данного значения х.

Страховая компания играет часто (так как она продает много полисов) и имеет весьма большие ресурсы. Следовательно, в

отличие от случая отдельного полиса функция полезности страховой компании есть приблизительно линейная функция от денежного выигрыша. Поэтому можно выбрать так, чтобы на соответствующем интервале. При продаже страхового полиса ожидаемый выигрыш компании должен быть больше нуля — ее выигрыша при несостоявшейся сделке. Поскольку ожидаемый выигрыш компании от продажи полиса равен получаемой сумме х минус средняя сумма выплачиваемая по полису, то страховая компания выбирает сумму х такой, чтобы

Страховой полис продается при выполнении обоих неравенств (7) и (8).

Дальнейшие замечания и ссылки на литературу. Обсуждение некоторых задач, связанных с выпуклыми и вогнутыми функциями лолезности, имеется у Фридмэна и Сэвиджа (1948, 1952) и у Прэтта (1964). Чтобы учесть изменчивость в индивидуальных предпочтениях, часто наблюдаемую в реальных ситуациях, были предложены различные стохастические модели выбора поведения и полезности (см. Льюс (1959), Саппс и Уолш (1959) и Беккер, Де Гроот и Маршак (1963)). Льюс и Саппс (1965) приводят превосходный обзор работ по теории полезности, включая статьи по экспериментальному измерению полезности, стохастическим моделям и аксиоматическому подходу к полезности, который будет обсуждаться в следующем параграфе.

Прежде чем перейти к изложению аксиоматического подхода к полезности, сделаем одно заключительное замечание. В рамках настоящей теории при выборе одной из нескольких игр, в особенности если такой выбор может производиться только один раз, следует выбирать игру с максимальной средней Полезностью. Выбор здесь не связан ни с какими соображениями о «большой серии испытаний», которые иногда привлекаются при рассмотрении математических ожиданий, но является просто следствием определения полезности. В случае когда игры выбираются неоднократно, общий выигрыш от всей последовательности игр следует рассматривать как доход от одной составной игры и наиболее предпочтительная последовательность игр должна быть той, которая приводит к наибольшей средней полезности общего выигрыша. Как правило, такая последовательность игр отлична от последовательности, в которой на каждом шагу выбирается игра с наибольшей средней полезностью выигрыша на этом шагу. Задачи такого типа относятся к проблематике последовательных решений, которые систематически будут изучаться в гл. 12—14.