Глава 7. ПОЛЕЗНОСТЬ
§ 7.1. Предпочтения в множестве доходов
Субъективные вероятности статистика, определенные и изученные в предыдущей главе, являются численным выражением его мнения и информации. Понятие полезности, вводимое и изучаемое в этой главе, служит для численного выражения его вкусов и предпочтений.
Рассмотрим ситуацию, в которой статистик может получить некоторый доход 
являющийся элементом множества R возможных доходов. Элементы множества R, которые мы для удобства речи назвали доходами, вообще говоря, могут быть весьма сложными объектами. Это не обязательно денежные вознаграждения или даже вообще что-то желаемое. В некоторых приложениях теории полезности для этих элементов используется более нейтральный термин «последствия». Существенно лишь то, что множество R вполне определено. Вот некоторые примеры таких множеств, которые могут представить интерес: множество билетов на различные концерты; множество продуктовых наборов; множество возможных экономических состояний некоторого человека в определенный момент времени в будущем, измеряемых разностью его денежных доходов в будущем и в настоящий момент; множества возможных экономических состояний некоторого государства в определенный момент в будущем, задаваемых размером, национального дохода, дохода на душу населения, уровнем безработицы или какими-нибудь другими показателями.
Для любого множества R у статистика будут предпочтения к тем или иным доходам. В некоторых ситуациях эти предпочтения очевидны. Так, если доходы являются денежными, то, вообще говоря, чем больше доход, тем он предпочтительнее. Опять-таки ясно, чёму отдать предпочтение в случае, когда доходы — это билеты на вечерние концерты в одинаковые концертные залы на одинаковые места в один и тот же день, поскольку выбор здесь зависит исключительно от предпочтения определенной музыки или определенных исполнителей. Если, однако, надо принимать во внимание относительное удобство различных дней или относительное качество различных мест, то предпочтения становятся менее ясными. Решение является значительно более сложным, когда доходы — это различные состояния экономики и выбор производится не отдельным индивидуумом, а весьма сложным государственным аппаратом.
Даже субъективные предпочтения среди нескольких продуктовых наборов или экономических состояний редко бывают ясны, так как эти доходы по существу суть многомерные векторы. При сравнении двух векторных доходов такого типа, если каждая компонента первого вектора представляется более желательной, нежели соответствующая компонента второго вектора, то, как правило, предпочтение отдается первому вектору. Если, однако, первый вектор выгоднее только в отношении некоторых своих компонент, в то время как второй вектор предпочтительнее по другим компонентам, то какому из этих двух векторов отдать итоговое предпочтение, не очевидно. Возможно, для окончательного решения вопроса следовало бы приписывать соответствующие веса отдельным компонентам.
Однако каким бы сложным и тонким ни был процесс, с помощью которого определяются более предпочитаемые доходы в заданном множестве, можно считать, что как организации, так и отдельные индивидуумы имеют такие предпочтения. Они проявляются в обычно принимаемых решениях и выборах. Поэтому можно считать, что у статистика есть предпочтения среди доходов любого заданного множества 
При сравнении двух доходов 
будем писать 
для обозначения того факта, что 
предпочтительнее 
и будем обозначать через 
факт эквивалентности 
т. е. их одинаковой выгодности. Далее, мы будем писать 
если 
не является более предпочтительным, чем 
Таким образом, если 
то либо 
либо 
Наконец, по определению, 
обозначает то же самое, что и 
то же самое, что 
Предполагается, что на основе своих предпочтений среди доходов статистик может задать полное упорядочение множества 
Другими словами, на отношение 
налагаются следующие два условия.
1. Если 
произвольные доходы из множества R, то верно одно и только одно из следующих соотношений: 
2. Если 
— доходы из 
причем 
то 
Наконец, будет предполагаться, что не все доходы в R эквивалентны между собой, т. е. мы исключим тривиальную ситуацию, предположив, что 
хотя бы для одной пары 
