§ 3.3. Суммы и интегралы

Весьма полезными оказываются понятия и терминология, позволяющие одновременно рассматривать дискретные и абсолютно непрерывные распределения. В дальнейшем для обозначения функции которая может быть как п. р. в., так и ф. в., мы будем использовать термин обобщенная вероятностная плотность Пусть X — случайная величина с о. в. и пусть вещественная функция, область определения которой есть подмножество в содержащее все возможные значения случайной величины Пусть, далее, В — произвольное борелевское подмножество в Как это принято в абстрактной теории меры и интегрирования, будем для суммы

и интеграла

использовать общую запись

Говорят, что интеграл (1) существует тогда и только тогда, когда

Если соотношение (2) выполняется для то функция называется интегрируемой функцией от

Для удобства изложения мы будем использовать также понятие интеграла Лебега — Стильтьеса. Если F - ф. р. случайной величины X, то вместо выражения (1) мы иногда будем писать

Аналогично в случае совместного распределения случайных величин мы используем термин совместная о. в. для функции которая может быть либо совместной ф. в., либо совместной п. р. в., либо совместной ф. в. - п. р. в. Для соответствующих функций и борелевских множеств многомерные аналоги интегралов (1) и (3) будут записываться в форме

или

Следует помнить, что в интегралах (4) и (5) некоторые из компонент могут быть дискретными, а другие — абсолютно непрерывными.