Глава 11. ОЦЕНИВАНИЕ, ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ И ЛИНЕЙНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

§ 11.1. Оценивание

Вообще говоря, задача оценивания — это задача статистического решения, в которой решением статистика является оценка значения параметра принадлежащего множеству . Поскольку статистик должен оценить значение пространство решений обычно совпадает с множеством . В нашем изложении теории оценивания предположим для простоты, что хотя вероятность того, что лежит в некоторых областях может быть равна 0.

Решение статистика это его оценка значения параметра а его ущерб отражает расхождение между значением и оценкой По этой причине в задачах оценивания часто предполагают, что функция потерь имеет следующий вид:

Здесь неотрицательная функция вектора погрешностей такая, что неотрицательная весовая функция, которая задает относительную значимость заданного вектора погрешностей для различных значений параметра Если ущерб зависит лишь от вектора погрешностей то можно считать, что функция у постоянна на всем пространстве

В некоторых задачах не требуется оценивать все компоненты вектора Допустим, что надо оценить лишь первые компонент оставшиеся же компонент оценивать не нужно. В такой ситуации последние компонент называются мешающими параметрами. Функцию потерь в задаче оценивания с мешающими параметрами по-прежнему можно задавать посредством формулы (1), где функция зависит лишь от первых 7 компонент вектора а весовая функция у может зависеть от всех компонент этом случае мы сохраним предположение о том, что Тогда статистик должен оценить все к компонент вектора но из вида функции потерь ясно, что оценки мешающих параметров несущественны.

Рассмотрим теперь произвольную задачу оценивания, в которой функция потерь имеет вид (1), и предположим, что апостериорная п. р. в. параметра есть Байесовское решение

или, в нашем случае, байесовская оценка определяется как точка доставляющая минимум риску

Заметим, что этот же интеграл должен быть минимизирован и в другой задаче оценивания, в которой функция потерь имеет вид а апостериорная п. р. в. параметра удовлетворяет условию Другими словами, одни и те же байесовские решения получаются независимо от того, является ли неотрицательная функция у множителем при функции потерь или множителем при п. р. в. параметра Этот результат очевидным образом следует из формулы (2). Поэтому при обсуждении общих задач теории оценивания можно считать, что функция у в (1) постоянна.

Если параметр одномерен, т. е. его значения лежат в то функцию потерь в задачах оценивания часто выбирают имеющей вид

где Мы подробно рассмотрим такие функции потерь при