§ 11.13. Дисперсионный анализ по одному признаку

В качестве другого примера предположим, что нам надо минимизировать функцию [см. (3) § 11.11] на множестве всех векторов таких, что Для того чтобы найти сам минимум и точку где он достигается, можно применить равенства (5) и (6). Однако в этом примере проще определить соответствующие величины непосредственно дифференцированием.

Если общее значение к компонент вектора то

Здесь обозначает компоненту вектора сдвига компоненту матрицы точности Обозначая через производную по получаем

Пусть обозначает -мерный вектор, у которого все компоненты равны 1. Тогда из (2) следует, что при

Минимальное значение функции можно теперь получить, подставив это значение в (1). Имеем

В качестве приложения этих результатов рассмотрим задачу дисперсионного анализа по одному признаку. В этой задаче имеется наблюдений со следующим совместным распределением: для любых данных значений случайных величин случайная величина имеет нормальное распределение со средним и мерой точности и все наблюдений независимы. Другими словами, образуют повторную выборку, содержащую наблюдений, распределенных нормально со средним и мерой точности Если рассматривать наблюдения как образующие один длинный -мерный вектор то видно, что в этой задаче -матрица х [см. (1) § 11.10] имеет следующий вид:

При этом будет диагональной матрицей с элементами на главной диагонали.

Отсюда следует, что если определены равенствами (11) и (12) § 11.10, то

где

Поэтому из сказанного в этом параграфе следует, что если имеют несобственную априорную совместную п. р. в., заданную равенством (10) § 11.10, то апостериорное распределение есть многомерное -распределение с степенями свободу, вектором сдвига у и диагональной матрицей точности, у которой диагональный элемент равен

Из (3) и (4) видно, что при таком апостериорном распределении минимальным значением функции на множестве всех векторов для которых будет

где

Это минимальное значение достигается на векторе все компоненты которого имеют общее значение у. Таким образом, для больших значений отношение значения апостериорной плотности для в точке к минимуму плотности вероятности, взятому по всем точкам с одинаковыми компонентами, приблизительно равно где задается формулой (8).

Дисперсионный анализ при большем числе признаков может быть проведен аналогичным образом. Однако все становится несколько более сложным ввиду необходимости рассматривать большое число параметров и отвечающих им индексов.

Дальнейшие замечания и ссылки на линейной регрессии и дисперсионного анализа изучались Райффой и Шляйфером (1961), гл. и Зеллнером (1964а, b). Зеллнером и Боксом и Боксом и Дрейпером

(1965), Тяо и Таном (1965), Зеллнером и Четти (1965), Хиллом (1965) и Данканом (1965). Стоуном и Спрингером (1965) рассмотрен вопрос о применении несобственных априорных распределений в таких задачах.

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)