§ 12.2. Процедуры последовательного решения

В этом параграфе мы начнем систематическое изучение общей теории последовательных статистических решений. Рассмотрим задачу решения, характеризующуюся параметром значения которого принадлежат параметрическому пространству пространством решений и функцией потерь Предположим, что перед принятием решения из статистик может последовательно наблюдать значения случайных величин Допустим также, что при каждом заданном значении эти случайные величины независимы и одинаково распределены. В этом случае будем называть их последовательной повторной (случайной) выборкой. Допустим далее, что условная о. в. п. каждого наблюдения при есть и стоимость наблюдения величины фавна

Последовательная решающая функция, или процедура последовательного решения, состоит из двух компонент. Одна компонента называется выборочным планом, или правилом остановки. Здесь статистик прежде всего заключает, принять какое-нибудь решение из вообще не делая наблюдений, или же есть смысл провести хотя бы одно наблюдение. Если проведение наблюдений целесообразно, то для каждого возможного набора наблюденных значений статистик делает вывод о том, следует ли остановиться и принять решение из без дальнейших наблюдений или же надо наблюдать очередное значение

Вторая компонента процедуры последовательного решения может быть названа решающим правилом. Если проводить наблюдения нет смысла, то статистик выбирает решение Если же произведено хотя бы одно наблюдение, то статистик указывает решение которое должно быть выбрано для каждого возможного набора наблюденных значений после которых выбор прекращается.

Так же как и в рассматривавшихся ранее задачах решения в схеме с фиксированным числом наблюдений, обозначим через S выборочное пространство каждого отдельного наблюдения При образуем множителей) — выборочное пространство наблюдений выборочное пространство бесконечной последовательности наблюдений (см. § 2.2). Выборочный план, требующий хотя бы одного наблюдения, задается последовательностью подмножеств которые имеют следующий смысл: выбор оканчивается при наблюденных значениях если значение наблюдается в случае, если если при некотором или, более общим образом,

при то выбор должен быть окончен самое большее после наблюдений. Определение множеств для значений таких, что в этом случае неважно. Тем не менее удобно предполагать, что множества заданы при всех значениях

Каждое множество остановки может рассматриваться не только как подмножество в но и как подмножество в для или как подмножество в Множество рассматриваемое как подмножество в является там цилиндрическим множеством. Другими словами, если — другая точка из такая, что при то независимо от того, каковы значения оставшихся компонент. Каково то пространство подмножеством которого мы считаем будет ясно из контекста.

Предположим, что, согласно заданному выборочному плану, надо провести хотя бы одно наблюдение и обозначает общее случайное число наблюдений, которое проводится до окончания выбора. Пусть обозначает множество точек для которых Другими словами, предположим, что последовательно наблюденные значения. Тогда выбор завершается после наблюдения (и не раньше) в том и только в том случае, когда Следовательно, и при

Аналогично пусть обозначает подмножество в для которого События зависят лишь от наблюдений Следовательно, эти события являются подмножествами в Как было уже отмечено, они могут рассматриваться и как подмножества в при Далее, событие зависит лишь от наблюдений и также может трактоваться как подмножество в для всех

Для любой априорной о. в. п. величины обозначим через маргинальную совместную о. в. п. наблюдений Другими словами, при

Через обозначим маргинальную совместную ф. р. величин Таким образом, для всех событий

Теперь легко убедиться в справедливости следующего равенства:

Решающее правило процедуры последовательного решения задается решением и последовательностью функций обладающих следующим свойством: для любой точки функция определяет решение Если, согласно выборочному плану, решение из надо принимать, не проводя наблюдений, то выбирается решение Если же выборочный план предписывает проведение хотя бы одного наблюдения и если наблюденные значения обладают тем свойством, что то выбор заканчивается и принимается решение Значения функции достаточно задать таким образом на подмножестве Однако, для того чтобы можно было рассматривать решающее правило, не указывая явно выборочный план, нам будет удобно считать, что каждая решающая функция определена на всем пространстве

При процедуре последовательного решения, как мы уже отмечали, общее число наблюдений до принятия некоторого решения из является случайной величиной. Ясно, что процедура, требующая проведения фиксированного числа наблюдений соответствует выборочному плану, для которого множество пусто при Вообще говоря, мы будем рассматривать только те выборочные планы, для которых с вероятностью 1 выбор в конце концов будет прекращен. Другими словами, мы предположим, что при заданном априорном распределении

Такое ограничение класса процедур последовательного решения представляется естественным, поскольку стоимость бесконечной последовательности наблюдений должна рассматриваться как бесконечная. Не следует, однако, думать, что существует конечная верхняя граница такая, что