§ 8.8. Задачи решения с наблюдениями

В оставшейся части этой главы мы рассмотрим задачи решения, в которых статистик перед тем, как выбрать решение из множества наблюдает значение случайной величины или случайного вектора X, связанных с параметром Наблюдение X дает статистику некоторую информацию о значении которая помогает ему принять рациональное решение. Мы предположим, что для всех задано условное распределение X при Задачи такого типа называются статистическими задачами решения. Основные элементы статистической задачи решения — это параметрическое пространство пространство решений функция потерь и семейство условных о. в. величины X, наблюдаемой статистиком до принятия решения.

Пусть S обозначает выборочное пространство возможных значений наблюдения Поскольку решение статистика зависит от наблюдаемого значения X, он должен на самом деле выбрать решающую функцию задающую для любого возможного значения решение Во многих задачах статистику не надо в действительности иметь всю решающую функцию После того как он узнал результат наблюдения ему достаточно рассмотреть задачу выбора подходящего решения . В других задачах статистик должен сопоставлять количество информации, полученной от наблюдения X, с ценой этого наблюдения. Там он должен задать уже всю решающую функцию поскольку от ее свойств зависит, стоит ли платить за наблюдение. Не сужая круга приложений и выигрывая в простоте теории, можно во всех случаях считать, что статистик всегда выбирает всю решающую функцию

Обозначим класс всех решающих функций в данной задаче через А. По мере надобности мы будем налагать на решающие функции некоторые ограничения типа измеримости. Мы могли бы также рассматривать решающие функции задающие рандомизованные решения при, некоторых Однако по тем же соображениям, что и в § 8.5, в обсуждаемых нами задачах решения статистик может отказаться от применения рандомизованных решений, и мы не будем в дальнейшем в этой книге рассматривать такие решения.

Для любой о. в. параметра и любой решающей функции риск определяется равенством

Предполагается, что при всех функция измерима и интегрируема на множестве Символы

указывают на то, что каждый из интегралов в (1) может быть как обычным интегралом от п. р. в., так и суммой значений дискретной

Термин «риск» здесь так же, как и в § 8.1, относится к среднему ущербу. Для каждого решения через снова обозначается риск от принятия решения при о. в. т. е.

Для каждого значения через мы будем обозначать риск, соответствующий решающей функции S при

Для каждой решающей функции функция определенная формулой (3), называется ее функцией риска. Из (1) и (3) следует, что

Пусть такая решающая функция, что

Тогда называется байесовской решающей функцией при по-прежнему называется байесовским риском. Для всякой заданной о. в. п. параметра статистику следует выбирать решающую функцию являющуюся байесовской решающей функцией при

Дальнейшие замечания и ссылки на литературу. Теория статистических решающих функций была предложена и разработала Вальдом (1950). Ей предшествовало развитие теории игр фон Нейманом и Моргенштерном (1947). Вот некоторые из стандартных руководств по теории статистических решений разной степени элементарности: Блекуэлл и Гиршик (1958), Чернов и Мозес (1962), Фергюсон (1967), Хедли (1967), Прэтт, Райффа и Шляйфер (1965), Райффа и Шляйфер (1961), Вейсс (1961).

Статистические процедуры, основанные на предположении (принятом в настоящей книге), что всякому параметру в статистической задаче решения может быть приписано некоторое распределение, отвечают так называемому байесовскому статистическому подходу. Сфера применения этого подхода является предметом широкого обсуждения в статистической литературе; см., например, монографию Сэвиджа и др. (1962).

В историческом плане интересны биографические очерки о Байесе, написанные Барнардом (1958) и Холландом (1962).