§ 9.9. Сопряженные семейства для выборок из многомерного нормального распределения

В дальнейших параграфах этой главы мы будем рассматривать задачи, в которых выборки извлекаются из невырожденного -мерного нормального распределения (к 1). В каждой задаче вектор средних — это -мерный вектор, т. е. точка в а матрицей точности распределения служит симметрическая положительно определенная к х-матрица. Всякое наблюдение X представляет собой -мерный случайный вектор, значения которого х лежат в Результаты, которые мы получим, являются обобщениями результатов § 9.5 и 9.6, где рассматривались выборки из одномерного нормального распределения. Мы начнем с рассмотрения задачи выбора из распределения, для которого матрица точности известна. Если значения наблюдений то мы будем, как обычно, обозначать через х вектор средних, определяемый формулой

Теорема 1. Пусть повторная выборка из многомерного нормального распределения с неизвестным значением вектора средних и известной матрицей точности Допустим далее, что априорное распределение — многомерное нормальное с вектором средних и матрицей точности где симметрическая положительно определенная матрица. Тогда апостериорное распределение при есть многомерное нормальное распределение с вектором средних и матрицей точности от, где

Доказательство. При функция правдоподобия удовлетворяет соотношению

Но

Поэтому соотношение (3) можно переписать в виде

Априорная п. р. в. параметра имеет вид

Апостериорная п. р. в. параметра пропорциональна произведению функций (5) и (6). Далее, как легко проверить,

Поскольку в соотношении (7) члены, не содержащие можно включить в нормирующий множитель, мы получаем следующее соотношение:

П. р. в. (8) есть плотность многомерного нормального распределения, у которого вектор средних и матрица точности указаны в формулировке теоремы.

Очевидна аналогия между этой многомерной теоремой и одномерной теоремой 1 § 9.5. Соображения, приведенные после последней теоремы, сохраняют силу и здесь.

Теперь предположим, что мы производим выбор из многомерного нормального распределения с известным вектором средних, но неизвестной матрицей точности.

Теорема 2. Пусть повторная выборка из многомерного нормального распределения с известным вектором средних и неизвестной матрицей точности Допустим, что априорное распределение R есть распределение Уишарта с а степенями свободы и матрицей точности причем симметрическая положительно определенная матрица. Тогда апостериорным распределением R при будет распределение Уишарта с степенями свободы и матрицей точности , где

Доказательство. Функция правдоподобия удовлетворяет следующему соотношению:

Аргумент экспоненты в (10) есть вещественное число, которое можно рассматривать как -матрицу. Ввиду этого из

соотношений (1) и (2) § 3.5 находим

Далее, п. р. в. матрицы R удовлетворяет условию

Поскольку апостериорная п. р. в. R пропорциональна произведению функций (10) и (12), из (11) следует, что апостериорное распределение R должно быть как раз распределением Уишарта, указанным в формулировке теоремы.

Эта теорема — непосредственное многомерное обобщение теоремы 2 § 9.5. Аналогия между этими двумя теоремами слегка вуалируется тем фактом, что одномерное распределение Уишарта с а степенями свободы и матрицей точности в данном случае — просто положительное число) есть гамма-распределение с параметрами Хотя, несколько видоизменив определение параметров одного из этих распределений, можно было бы устранить это кажущееся расхождение, мы используем здесь традиционные определения.

Стоит заметить, что п. р. в. закона Уишарта определяется соотношением (12), даже когда число степеней свободы а нецелое, при условии, конечно, что Однако если а в априорном распределении R выбрано целым, то и число степеней свободы в апостериорном распределении будет также целым.