§ 6.5. Проверка выполнения свойств вероятностного распределения
Мы должны теперь проверить, что определенная выше функция 
удовлетворяет всем свойствам вероятностных распределений, приведенным в § 2.3. Из определения 
видно, что 
для всех событий 
Далее, из равенства 
следует, что 
Для завершения проверки осталось показать, что если 
последовательность несовместных событий, то
Следующая теорема показывает, что равенство (1) справедливо по крайней мере для случая объединения двух событий.
Теорема 1. Если 
два события, для которых 
то 
Доказательство. Из формулы (3) § 6.4 следует, что 
. Далее, так как 
то 
Покажем теперь, что
Предположим сначала, что 
Тогда из предположения SP2 выводим
что противоречиво. К такому же противоречию приводит допущение, что 
Таким образом, (2) верно. Поскольку
и по определению 
то из (2) и (4) выводим, что
Элементарная индукция, которую мы не будем проводить здесь, показывает, что теорема 1 верна и для объединения конечного числа несовместных событий.
Следствие 1. Если 
произвольные несовместные события, то
Теорема 
убывающая последовательность событий, для которой 
то
Доказательство. Так как 
то 
Следовательно, последовательность 
должна сходиться к некоторому неотрицательному пределу 
при 
Так как 
при 
то 
для 
. В силу предположения 
заключаем отсюда, что
Если бы число 
было положительно, то мы имели бы
Так как последнее соотношение противоречит (7) то 
Из следствия 1 и теоремы 2 теперь можно вывести равенство (1).
Теорема 3. функция 
является вероятностным распределением.
Доказательство. Пусть 
произвольная последовательность несовместных событий. Из следствия 1 вытекает, что
Так как события 
несовместны, то после довательность событий 
убывает и 
Следовательно, по теореме 
Поэтому, переходя к пределу в правой части (9) при 
мы получаем равенство (1).
Установив теперь единственность вероятностного распределения 
удовлетворяющего теореме 2 § 6.4, мы докажем следующую теорему, которая подводит итоги результатам этого параграфа.
Теорема 4. Если отношение удовлетворяет предположениям SP1 - SP5, то функция 
определенная формулой (3) § 6.4, является единственным вероятностным распределением, согласованным с отношением 
Доказательство. Все утверждения теоремы, за исключением единственности 
уже установлены.
Рассмотрим произвольное вероятностное распределение 
согласованное с соотношением Как можно показать, из свойств равномерного распределения следует, что для всякого события вида 
верно равенство
Пусть А — произвольное событие. Теорема 1 из § 6.4 показывает, что 
для некоторого а. Так как 
согласуется с отношением то
Следовательно, 
при всех А, и единственность 
доказана.
Дальнейшие замечания и ссылки на литературу. Данное здесь изложение близко к изложению в работе Виллегаса [1], откуда позаимствованы и некоторые из упражнений в конце этой главы. Превосходная библиография по субъективным вероятностям имеется в составленном Кайбергом и Смоклером сборнике (1964), в который включены важные работы Рамсея (1926), де Финетти (1937), Купмэна (1940) и другие. Подробный очерк развития понятия субъективной вероятности и весьма информативную библиографию можно найти у Сэвиджа (1954). Другие интересные публикации: Энскомб и Ауманн (1963), Фишбэрн (1967) и Скотт (1964). Понятие субъективной вероятности обсуждается также в книге Фишбэрна (1964). Некоторые известные монографии по этой тематике были упомянуты в гл. 1. См. еще ссылки в конце § 6.6.
