§ 10.9. Предельные свойства функции правдоподобия
Пусть выполняются предположения
. В этом параграфе мы покажем, что при большом числе
наблюдений функция правдоподобия и апостериорное распределение могут быть аппроксимированы некоторым нормальным распределением. Для доказательства этого факта мы формализуем следующие эвристические соображения.
Пусть для достаточно больших значений
суть решения уравнения правдоподобия, которые, согласно теореме 1 § 10.7, образуют состоятельную последовательность. Для упрощения обозначений пусть для любых значений наблюдений
Разлагая функцию
в ряд Тейлора в точке
получаем
Из определения
следует, что
Далее, из соотношения (7) § 10.7 и усиленного закона больших чисел заключаем, что при больших значениях
верна следующая приближенная формула
Первый член в правой части равенства (2) не зависит от
Поэтому, пренебрегая слагаемыми более высокого порядка малости в (2), мы можем записать следующее выражение для функции правдоподобия при принадлежащих некоторой малой окрестности
Соотношение (4) можно интерпретировать как приближение к функции правдоподобия посредством п. р. в. нормального закона со средним
и мерой точности
Из этого соотношения видно, что если априорное распределение параметра
задается в некоторой окрестности точки
гладкой положительной плотностью, то апостериорное распределение
сконцентрировано