По предположению SP5 существует случайная величина X с равномерным распределением на интервале [0, 1]. Для каждого подинтервала 
интервала [0,1] пусть 
обозначает событие, состоящее в том, что случайная величина X приняла значение из 
Тогда для интервалов 
соотношения 
равносильны. Кроме того, 
Теорема 1. Для всякого события А существует единственное число 
такое, что 
Доказательство. Для любого события А пусть 
обозначает подмножество интервала [0, 1], определяемое равенством
Так как 
то точка 1 принадлежит множеству 
значит, 
непусто. Пусть 
Если 
убывающая последовательность точек из 
сходящаяся к а, то 
Следовательно, в силу предположения 
Если 
то из соотношений 
и (2) следует, что 
Предположим, что а 
Тогда из определения а видно, что 
при всех а, для которых 0 а 
Далее, если 
какая-либо строго возрастающая последовательность, сходящаяся к а, то 
, Значит, в силу теоремы 5 § 
Это соотношение вместе с (2) снова дает 
Значение а определено однозначно. В самом деле, если 
то 
значит, только одно из этих событий может быть эквивалентно А.
Искомое вероятностное распределение 
можно определить теперь непосредственно с помощью теоремы 1. Если А — произвольное событие, то 
определяется как число 
из теоремы 1. Итак, 
задается соотношением
Следующая теорема показывает, что определенное таким образом распределение 
согласуется с отношением 
Теорема 2. Пусть 
два события. Тогда 
в том и только в том случае, когда 
Доказательство. В силу 
тогда и только тогда, когда
Далее, из определения равномерного распределения видно, что соотношение (4) равносильно тому, что 
-алгебра 
событий и отношение 
удовлетворяющее предположениям SP1 - SP5. В этом и следующем параграфах мы покажем, что при этих условиях существует единственное вероятностное распределение 
согласованное с отношением
