§ 13.13. Мартингалы, получаемые из сумм и произведений случайных величин

Мы приведем теперь дальнейшие результаты, основывающиеся на теореме 1 § 13.11. Хотя следующая теорема носит вполне общий характер, она особенно полезна при изучении мартингалов, образованных суммами случайных величин.

Теорема 1. Пусть последовательность является супермартингалом, субмартингалом или мартингалом относительно последовательности Предположим, что для заданного правила остановки найдется такое, что и для и всех точек

Допустим, далее, что Тогда существует причем для супермартингала для субмартингала и для мартингала

Доказательство. Если положить то

Изменяя порядок суммирования в последнем выражении, получаем

Следовательно, существует.

Далее,

Но, как мы уже показали, правая часть соотношения (2) (двойная сумма) конечна. Поэтому

Заключение теоремы вытекает теперь из соотношений (4) и (5) и теоремы 1 § 13.11.

Следствие 1. Пусть случайные величины независимы и одинаково распределены, причем Если то последовательность образует мартингал относительно последовательности Если для заданного правила остановки то существует

Доказательство. Так как случайные величины одинаково распределены и обладают конечным средним, то найдется число такое, что Далее, при всех

и наше утверждение следует из теоремы

Любопытно заметить, что из следствия 1 вытекает непосредственно теорема 1 § 12.16, доказанная ранее другим методом.

Следствию 1 можно дать такую интерпретацию. Предположим, что статистик может провести последовательность независимых и одинаково распределенных игр, причем средний выигрыш в каждой игре равен 0. Если выигрыш в игре, а общий выигрыш после игр, то средний общий выигрыш должен равняться 0 для любого правила остановки с конечным средним числом игр.

Следующая теорема показывает, что для мартингалов, образуемых произведениями независимых и одинаково распределенных случайных величин, дело обстоит несколько иным образом.

Ограничимся случаем неотрицательных произведений. Пусть последовательность одинаково распределенных случайных величин. В следующей теореме нам будет удобно обозначать через вероятности и математические ожидания, вычисляемые при условии, что о. в. каждой величины есть

Теорема 2. Предположим, что независимые и одинаково распределенные случайные величины с общей о. в. такой, что при Пусть при Тогда последовательность образует мартингал относительно последовательности Далее, если о. определена равенством

то для каждого правила остановки со свойством

Доказательство. Ясно, что действительно о. в. п. Эта о. в. п. неотрицательна, так как при и

Следовательно,

Из теоремы 2 следует, что для мартингала образованного произведениями независимых одинаково распределенных неотрицательных случайных величин, при всяком правиле остановки из класса А. Приводимое ниже следствие дает простое условие на правило остановки, гарантирующее выполнение равенства

Следствие 2. Пусть случайные величины удовлетворяют условиям теоремы мартингал, определенный в теореме 2. Пусть, далее, для заданного правила остановки из класса найдется число такое, при

Тогда

Доказательство. Согласно теореме 2, достаточно показать, что если о. в. п. определена посредством формулы (7), то

Имеем

Но для всякого правила остановки из класса имеем при чем (12) и установлено.

В качестве другого приложения теоремы 2 приведем следствие, впервые полученное Вальдом (1947) и известное как основное тождество последовательного анализа. Это тождество первоначально применялось Вальдом при изучении последовательного критерия отношения вероятностей.

Следствие 3. Пусть последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Предположим, что для заданного правила остановки из класса найдется число такое, что при всех для производящая функция моментов случайной величины то

Доказательство этого следствия составляет предмет упр. 26.

Дальнейшие замечания и ссылки на литературу. Мартингалы, образуемые суммами случайных величин, изучались Чжоу, Роббинсом и Тейчером (1965), Тейчером (1966), Эндрюсом и Блюмом (1966) и Фаррелом (1964b; 1966а, b).

Вот некоторые работы, посвященные основному тождеству последовательного анализа и содержащие ссылки на более ранние работы по этой тематике: Беллман (1957b), Бахадур (1958), Рубен (1959), Твиди (1960) и Миллер (1961).