§ 12.4. Индукция назад

Говорят, что процедура последовательного решения ограничена, если существует натуральное число такое, что . В этом и нескольких последующих параграфах мы рассмотрим задачи, в которых для числа производимых наблюдений существует фиксированная верхняя граница Другими словами, статистик имеет дело лишь с ограниченными процедурами последовательного решения, в которых число наблюдений не превосходит

При использовании метода индукции назад, который будет применен в следующем параграфе для отыскания оптимальной ограниченной процедуры последовательного решения, рассмотрение начинается с последнего шага и затем доводится до момента начала наблюдений. Неформально очень просто объяснить, как применяется этот метод. Для того чтобы выбрать между принятием решения из без проведения наблюдений и наблюдением

статистик должен знать, как он использует значение в случае его наблюдения. Тем самым надо выяснить, прекращать ли выбор после наблюдения или продолжать его и наблюдать Ответ на этот вопрос зависит от информации, доставляемой наблюдением что в свою очередь приводит к следующему вопросу: в случае наблюдения прекращать выбор или продолжать процесс, наблюдая Повторяя эти рассуждения, статистик приходит к следующему вопросу: если наблюдены значения то следует ли закончить процесс выбора или же надлежит сделать финальное наблюдение

Как правило, ответить на этот последний вопрос нетрудно. В случае когда наблюдается значение верхняя граница, наложенная на число наблюдений, обязывает нас прекратить выбор и принять решение из Следовательно, если выбор не был закончен ранее, то на последнем шаге статистик должен решить, выбрать ли решение из на основе значений или же сделать еще ровно одно наблюдение и затем принять решение из Оптимальное решение обычно зависит от наблюденных значений

После того как для каждого набора значений статистик определил, стоит ли проводить последнее наблюдение он может начать действовать методом индукции назад. При известных значениях наблюдений (т. е. до предпоследнего) он может решить, есть ли смысл проводить следующее наблюдение Поскольку для каждого возможного значения статистик знает оптимальную процедуру, то он может сравнить риск от принятия решения без дальнейших наблюдений с риском, отвечающим проведению наблюдения Двигаясь так же назад до первого шага, статистик для каждого возможного значения определяет оптимальную линию продолжения наблюдений на последующих шагах. Поэтому он может вычислить риск от наблюдения с последующим использованием оптимальной процедуры и сравнить его с риском от принятия немедленного решения из без наблюдений. Из такого сравнения на первом и последующих шагах и определяется оптимальная процедура последовательного решения.

Построение оптимальной процедуры методом индукции назад иллюстрирует принцип оптимальности (по Беллману (1957а)), который можно сформулировать следующим образом. Оптимальная процедура последовательного решения должна удовлетворять тому условию, что если на некотором ее шаге были наблюдены значения то продолжение этой процедуры совпадает с оптимальной процедурой последовательного решения в задаче, где априорное распределение для есть и максимальное число наблюдений, которое можно осуществить, равно