§ 7.5. Полезность в случае денежных доходов

В предыдущем параграфе была сделана попытка отметить некоторые трудности, связанные с понятием полезности денежного выигрыша и с ее измерением. Однако если возможные

денежяые выигрыши и проигрыши в данной ситуации не слишком велики и действие других факторов незначительно, то кажется достаточно естественным рассматривать функции полезности, определенные на множестве денежных доходов. Такие функции полезности широко используются, и мы обсудим их в настоящем параграфе и в следующих за ним.

Петербургский парадокс. Приводимый здесь пример был одной из первых иллюстраций того обстоятельства, что функция полезности, рассматриваемая как функция от возможных денежных доходов, не является линейной. Предположим, что некто имеет возможность сыграть в следующую игру. Правильная монета, т. е. монета, для которой выпадение герба или решетки равновероятно, подбрасывается до тех пор, пока не выпадет герб. Если первый герб показался при бросании, то выигрышем играющего будет долларов На какую плату за участие в этой игре следует согласиться?

Поскольку вероятность появления первого герба при бросании равна то средний выигрыш может быть представлен в виде бесконечного ряда Таким образом, ожидаемый выигрыш бесконечен. Если бы функция полезности игрока была линейной, то ему стоило бы заплатить любую произвольно большую сумму за участие в игре. На деле, однако, каждый хочет заплатить только некоторую вполне конкретную конечную сумму, зависящую от его функции полезности. Этот факт был назван петербургским парадоксом, хотя понятие полезности показывает, что никакого парадокса здесь нет.

Эта игра обсуждалась Даниилом Бернулли, который в начале восемнадцатого столетия одним из первых рассмотрел гипотезу средней полезности.

Экспериментальное измерение полезности. Рассмотрим теперь задачу об определении функции полезности данного конкретного лица. Мы приведем простой метод, с помощью которого можно определить эту функцию на некотором интервале возможных денежных доходов, в качестве которого мы выберем здесь промежуток от 0 до 1000 долларов. Пусть обозначает для любых вещественных лотерейный билет, дающий выигрыш в а долларов с вероятностью 1/2 и выигрыш в долларов с той же вероятностью. Рассмотрим следующую четырехшаговую последовательность:

Шаг. 1 состоит в определении числа такого, что заведомый выигрыш долларов рассматривается как эквивалентный получению дохода по лотерейному билету (0, 1000).

Шаг 2 заключается в нахождении такого числа что достоверное получение долларов считается равносильным выигрышу по лотерейному билету

Шаг 3 состоит в определении числа такого, что заведомый выигрыш долларов представляется эквивалентным получению дохода по лотерейному билету

Шаг 4 заключается в нахождении числа для которого заведомый выигрыш долларов равносилен выигрышу по билету

Один экспериментальный метод определения этих четырех чисел указан в упр. 2 в конце настоящей главы.

Предположим, что функция полезности является строго возрастающей функцией денежного дохода. Тогда без потери общности можно считать, что Отсюда следует, что Следовательно, Строго говоря, это равенство означает, что если числа, полученные на шагах 1 и 4, не совпадают, то не выполнены предположения, налагаемые на функцию полезности. На практике эти два числа редко оказываются равными первого раза. Однако, учитывая расхождение между и повторяя указанные четыре шага необходимое число раз, возможно в конце концов определить «предельное» значение , для которого Эту процедуру можно использовать для изучения решений, основанных на использовании лотерейных билетов с различными выигрышами и вероятностями, отличными от при определении выигрщпа х, такого, что и для некоторого фиксированного значения и Следовательно, эта процедура дает метод приближенного определения функции полезности.

Дальнейшие замечания и ссылки на литературу. Процедура, описанная в этом параграфе, предложена в работе Беккер, Де Гроот и Маршак (1964). Из других работ, посвященных экспериментальному измерению полезности, отметим статьи Мостеллер и Ноджи (1951) и Дэвидсон, Саппс и Сигел (1957).