§ 8.2. Байесовский риск и байесовские решения

Рассмотрим задачу решения с параметрическим пространством пространством решений и функцией потерь Для всякого распределения параметра байесовский риск определяется как точная нижняя грань рисков по всем решениям т. е.

Каждое решение риск которого равен байесовскому риску, называется байесовским решением при распределении Итак, решение является байесовским при распределении тогда и только тогда, йогда

Если распределение параметра есть то всякое байесовское решение при будет оптимальным для статистика, поскольку ни при каком другом решении риск не может быть меньше. Возможно, однако, что ни одно решение из класса не будет байесовским. Эта ситуация реализуется в том случае, когда нижняя грань в (1) не достигается ни при каком решении В этом случае статистику следует выбирать решение для которого риск достаточно мало отличается от байесовского Поскольку эти трудности не являются основными ни в теории, ни в практике принятия решений, мы будем, как правило, предполагать в дальнейшем, что для всех рассматриваемых распределений байесовский риск достигается для некоторого решения

Обсудим теперь три примера.

ПРИМЕР 1. Предположим, что параметрическое пространство содержит в точности две точки 0 и 1, а пространство решений состоит из всех ушсел интервала Пусть функция потерь определена для формулой

где некоторое заданное натуральное число. Наконец, предположим, что вероятностное распределение параметра таково, что

Пусть в Тогда для всякого решения риск о задается формулой

Отсюда видно, что минимизируется при Следовательно, единственное байесовское решение и байесовский риск равен

Заслуживает быть отмеченным следующее обстоятельство. Если пространство решений определено как полуоткрытый интервал то байесовский риск по-прежнему равен но ни одно решение из уже не будет байесовским.

ПРИМЕР 2. Рассмотрим ту же задачу из примера 1, но предположим теперь, что для функции потерь Тогда для всякого решения

Значение минимизирующее риск в (4), находится элементарным дифференцированием. А именно, единственное байесовское решение имеет вид

ПРИМЕР 3. Рассмотрим задачу, в которой параметр является вектором принимающим значения на плоскости Предположим, что пространство решений состоит ровно из двух решений и функция потерь определена для всех соотношениями

Тогда для любого совместного распределения случайных величин байесовское решение при распределении равно если и равно если . В случае оба решения являются байесовскими при распределении