§ 9.5. Сопряженные семейства для выборок из нормального распределения

Мы начнем с рассмотрения нормальных распределений с известной мерой точности, или, что то же самое, с известной дисперсией.

Теорема 1. Пусть повторная выборка из нормального распределения с неизвестным значением среднего и заданной мерой точности Допустим, что априорное распределение нормальное со средним и мерой точности Тогда апостериорное распределение при нормальное со средним и мерой точности где

Доказательство. При — функция правдоподобия удовлетворяет условию

Но

Поскольку последний член равенства (3) не содержит мы можем переписать соотношение (2) так:

Априорная п. р. в. параметра удовлетворяет условию

и апостериорная п. р. в. параметра пропорциональна произведению функций, фигурирующих в (4) и Легко показать, что

Поскольку последний член в (6) не содержит он может быть включен в нормирующий множитель, и мы получаем соотношение

Здесь задается соотношением (1). Из (7) следует, что апостериорное распределение нормальное со средним и мерой точности

Теорема 1 показывает, почему лучше выражать наши результаты через меру точности, а не дисперсию. Среднее апостериорного распределения можно записать в виде

Мы видим, что взвешенное среднее и где значение выборочного среднего, среднее априорного распределенния W. Поэтому можно рассматривать среднее апостериорного распределения как взвешенное среднее оценки построенной по выборке, и оценки получаемой исходя из априорного распределения. Веса оценок в этом усреднении пропорциональны где мера точности условного распределения выборочного среднего при любом фиксированном значении мера точности априорного распределения Чем больше объем выборки и чем выше точность каждого наблюдения, тем больше вес, придаваемый х.

Вид меры точности апостериорного распределения особенна прост. Точность возрастает на единиц при каждом наблюдении

независимо от наблюденных значений. Поэтому при увеличении числа наблюдений распределение все более концентрируется возле его среднего. Эта концентрация возрастает определенным заранее известным образом, в то время как значения среднего зависят от наблюдений.

В приводимой ниже теореме мы рассматриваем нормальное распределение, для которого значение среднего задано, а значение меры точности неизвестно. Доказательство этой теоремы служит предметом упр. 24.

Теорема 2. Пусть повторная выборка из нормального распределения с заданным значением среднего и неизвестным значением меры точности и пусть априорное распределение есть гамма-распределение параметрами Тогда апостериорное распределение при есть гамма-распределение с параметрами где

Для гамма-распределения с параметрами коэффициент вариации равен Ввиду этого из теоремы 2 следует, что коэффициент вариации апостериорного распределения убывает определенным заранее известным образом, когда объем выборки возрастает.