§ 5.4. Многомерное нормальное распределение

Случайный вектор размерности к имеет невырожденное многомерное нормальное распределение с вектором средних и ковариационной матрицей 2, если распределение X абсолютно непрерывно с п. р. в. , при всех равной

В (1) вектор средних это А-мерный вектор, компоненты которого суть произвольные вещественные числа; ковариационная матрица 2 размера к X к должна быть

симметрической и положительно определенной, в остальном ее элементы — произвольные вещественные числа.

По причинам, аналогичным указанным в § 4.7 для случая одномерного нормального закона, многомерное нормальное распределение является чрезвычайно важным во многих областях теории вероятностей и статистики. Целый раздел этих теорий, известный как многомерный статистический анализ, имеет дело почти исключительно с исследованием случайных выборок из многомерного нормального распределения. Прекрасной книгой на эту тему является монография Андерсона (1963).

Вычислим теперь х.ф. случайного вектора распределенного по многомерному нормальному закону с п. р. в. (1). Для всех

Как хорошо известно (см. § 3.5), существует невырожденная к -матрица В, такая, что симметрическая положительно определенная матрица 2 представима в виде Произведем в интеграле (2) замену переменных

Якобиан этого преобразования равен так что равенство (2) принимает вид

Пусть теперь Тогда (4) может быть записано в виде

Поскольку каждый из интегралов, входящих в (5), является

х. ф. одномерного стандартного нормального распределения (упр. 15 гл. 4), то

или

Аналогия между х. ф. (7) и указанной в упр. 15 гл. 4 х. ф. случайной величины с одномерным нормальным распределением очевидна. Стоит заметить, что с помощью формулы (7) можно проверить тот факт, что интеграл по всему пространству от п. р. в., задаваемой равенством (1), равен 1. Действительно, при Далее, нетрудно проверить, что действительно является вектором средних, ковариационной матрицей этого распределения (упр. 7).

Формула (7) задает х. ф. случайного вектора даже в том случае, когда матрица 2 лишь неотрицательно, но не положительно определена. Говорят, что случайный вектор X имеет вырожденное многомерное нормальное распределение, если х. ф. X имеет вид (7) с симметрической неотрицательно определенной вырожденной матрицей . Тогда по-прежнему Однако, поскольку матрица S вырождена, между компонентами должна существовать линейная связь и, следовательно, эти к случайных величин не могут иметь совместную -мерную п. р. в. Если исключить некоторые из компонент таким образом, чтобы между оставшимися не существовало никаких линейных соотношений, то эти оставшиеся компоненты будут распределены по невырожденному нормальному закону.

Предположим, что вектор имеет многомерное нормальное распределение с вектором средних и ковариационной матрицей , где вырождена или нет. Пусть А — заданная -матрица, и пусть -мерный случайный вектор определяется равенством Для всех вектора имеет вид

Следовательно, в силу (7)

Непосредственное сравнение (7) и (8) показывает, что случайный вектор распределен по многомерному нормальному закону с вектором средних и ковариационной матрицей

Следствием этого факта является следующий фундаментальный результат, который доказывается при помощи соответствующего выбора матрицы А. Совместное маргинальное распределение любого подмножества случайных величин опять-таки является нормальным, и соответствующие подвектор и подматрица 2 будут вектором средних и ковариационной матрицей этого распределения (упр. 8).

Получим теперь вид условного распределения некоторых из компонент случайного вектора X при фиксированных значениях остальных. Предположим, что распределение вектора нормально с вектором средних и невырожденной ковариационной матрицей . Пусть -мерный вектор X представлен в виде

где вектор образован первыми компонентами вектора X, а последними компонентами Предположим, что вектор средних ковариационная матрица и обратная к ней матрица разбиты на блоки:

Здесь -мерный вектор, -мерный вектор, матрицы имеют размер размер суть -матрицы, Заметим, что и что элементы являются ковариациями компонент и компонент Условное распределение при заданном значении описывается с помощью величин, входящих в формулы (10).

Совместная п. р. в. случайных векторов есть просто п. р. в. случайного вектора X, которая имеет вид (1). Поэтому для всех значение этой совместной п. р. в. задается формулой (1), где

Далее, маргинальное распределение является нормальным с вектором средних и ковариационной матрицей . Поэтому для всех маргинальная п. р. в. вектора равна

Из (10) и выводим

Можно показать (упр. 9), что

Это равенство позволяет записать правую часть (13) в виде

В упр. 9 доказывается также, что

Поэтому, если положить

где

то выражение (15) будет равняться

Следовательно, для всех

Далее, из (12) и (20) получаем

Отсюда следует, что условная п. р. в. вектора условии вычисляется в точке по формуле

Сравнивая условную п. р. в. (23) с многомерной нормальной п. р. в. (1), выводим из (18), что условное распределение вектора при фиксированном является -мерным нормальным законом с вектором средних задаваемым формулой (19), и ковариационной матрицей определяемой формулой (17).

Далее, из сравнения нормирующей постоянной в (23) с постоянной, служащей для нормировки п. р. в. многомерного нормального распределения с ковариационной матрицей (17), получаем равенство

Матрицей точности невырожденного многомерного нормального закона называется матрица, обратная к ковариационной, т. е.

Как уже говорилось в § 4.7 по поводу одномерного нормального расцределения, в дальнейшем часто будет удобно задавать невырожденное многомерное нормальное распределение с помощью вектора средних и матрицы точности, а не вектора средних и ковариационной матрицы. Таким образом, если случайный вектор распределен по многомерному нормальному закону с вектором средних и матрицей точности то его п. р. в. при всех имеет вид

Итак, если говорится, что случайный вектор имеет многомерное нормальное распределение с некоторой матрицей точности, то это распределение обязательно невырождено и его п. р. в. задается формулой (26).