§ 7.8. Построение функции полезности

Пусть и — два фиксированных дохода из Я, причем Мы можем теперь построить функцию которая будет служить функцией полезности. Если доход из для которого то определяется как единственное число из интервала удовлетворяющее соотношению

Существование и единственность такого числа были установлены в теореме 1 § 7.7. В частности,

Для любого дохода такого, что существует единственное число а удовлетворяющее соотношению

Естественно ожидать, что функция полезности обладает тем свойством, что в случае, когда выполнено (2),

Для того чтобы (3) было справедливо при надо положить

Наконец, для любого дохода такого, что должно существовать единственное число удовлетворяющее соотношению

Естественно ожидать от функции полезности, что при выполнении (5) имеет место соотношение

Для того чтобы (6) было справедливо, полагаем

Соотношения (1), (2), (4), (5) и (7) задают функцию на всем множестве

Следующая теорема показывает, что линейность функции выражаемая соотношениями (3) и (6), имеет место на всем множестве

Теорема 1. Пусть три произвольных дохода из R, причем при некотором значении а

Тогда

Доказательство. Пусть обозначает наименее предпочтительный из пяти доходов наиболее предпочтительный из них. Тогда Для всякого дохода из такого, что пусть определено как единственное число из интервала удовлетворяющее соотношению

В силу предположенной справедливости соотношения (8) и того, что соотношение (10) верно при из леммы 1 § 7.7 следует, что

По лемме 3 § 7.7 коэффициент при в соотношении должен быть равен коэффициенту при в соотношении (10) для Поэтому

Соотношение (12) и есть искомое соотношение, однако оно верно для функции а не для Для завершения доказательства мы покажем, что линейно зависит от откуда и будет следовать справедливость соотношения (12) для Пусть это один из трех доходов Предположим сначала, что Тогда в силу (1)

Заменим теперь в соотношениях (8) и на на на . Тогда получим

Предположим, далее, что Тогда из (2) и (4) следует, что

После соответствующей подстановки в (12) мы приходим к равенству

которое, очевидно, совпадает с (13).

Предположим, наконец, что Тогда в силу (5) и (7)

После надлежащей постановки в (12) получаем

Преобразуя (15), снова приходим к (13).

Таким образом, в (12) вместо при можно подставить выражение (13), а это и означает справедливость искомого равенства (9).