§ 7.2. Предпочтения в множестве вероятностных распределений

В большинстве интересных задач статистик не вполне свободен в выборе дохода. Обычно он может лишь выбрать из некоторого класса возможных распределений вероятностное распределение

на согласно которому будет определен его доход. Например, государство не может избрать точно определенное состояние для: своей экономики через год, но, опираясь на экономические учреждения и мероприятия, которые можно регулировать, оно задает некое вероятностное распределение на множестве различных возможных состояний экономики. В другом примере стрелок не может точно предсказать место попадания пули в цель, но, целясь в определенную точку, он вводит вероятностное распределение на мишени. (Отметим, что вероятностные распределения в этих двух примерах являются весьма субъективными.) В другом классе задач ставится вопрос о выборе определенного технологического процесса из двух или более возможных таких процессов. Хотя доходы и можно точно выразить через производительность и издержки, производственные характеристики различных процессов могут быть описаны лишь вероятностно.

Много других примеров связано с решением основных задач статистики. Пусть статистик хочет получить информацию о значении некоторого параметра. Его доход — это (определенное надлежащим образом) количество информации об этом значении, получаемое после эксперимента. Статистик выбирает эксперимент из некоторого класса доступных ему, но информация, которую он получит в каждом из экспериментов, носит случайный характер. В любой задаче такого рода статистик производит выбор не непосредственно среди доходов из множества R, но среди вероятностных распределений на Выбор вероятностных распределений в таких ситуациях и составляет задачу решения именно того типаг который будет в основном интересовать нас в этой книге.

Поскольку мы собираемся изучать вероятностные распределения на множестве то мы должны определить подходящую -алгебру подмножеств R и рассматривать вероятности множеств доходов, принадлежащих Подход к понятию полезности, развиваемый в этой главе, является вполне общим, и результаты будут выражаться в терминах распределений и интегралов на абстрактном множестве R с заданной -алгеброй его подмножеств. Однако во всех дальнейших задачах в этой книге и в практических приложениях почти всегда возможно определить множество R естественным образом так, чтобы оно являлось подмножеством -мерного евклидова пространства для некоторого значения Поэтому, если подобное предположение облегчит читателю понимание тех или иных результатов настоящей главы, он может считать, что множество R имеет этот специальный вид.

В частности, для любых вероятностного распределения на множестве подмножества и интегрируемой функции на R абстрактный интеграл вида можно понимать

как интеграл

где -мерная функция распределения на множестве соответствующая вероятностному распределению Интеграл (1) был определен в § 3.3.

Во многих задачах множество R счетно или даже конечно Тогда всякое вероятностное распределение обязательно дискретна и каждый интеграл сводится к обычной сумме.

Рассмотрим теперь фиксированное множество R доходов с выделенной -алгеброй подмножеств R, и пусть это класс всех вероятностных распределений на . Предпочтения статистика относительно доходов из R ведут его к предпочтениям среди вероятностных распределений из Таким образом, если у него имеется выбор между двумя случайными механизмами, один из которых доставляет доход из R согласно вероятностному распределению а другой — доход из R согласно вероятностному распределению то он, вообще говоря, предпочтет один из этих механизмов. Понятие о случайном механизме важно здесь потому, что оно отражает следующее соображение: для сравнения двух вероятностных распределений на R существенны лишь вероятности получения различных доходов, и статистик не должен принимать во внимание отдельные события в случайном механизме, реализующем эти вероятности.

Другими словами, всякое вероятностное распределение на R следует рассматривать как порождаемое неким вспомогательным экспериментом, все возможные исходы которого этически нейтральны. Подходящим вспомогательным экспериментом такого рода может служить случайный механизм типа используемых при розыгрыше лотереи, например вращающееся колесо со стрелкой.

Для обозначения предпочтений среди вероятностных распределений из мы используем те же символы, что и для обозначения предпочтений среди доходов из R (§ 7.1). Итак, если два вероятностных распределения, то мы будем писать для обозначения того, что предпочтительнее будем писать в случае, когда не является более предпочтительным, чем когда эквивалентны.

В наших обозначениях мы не будем различать доход и вырожденное вероятностное распределение сосредоточенное в точке Таким образом, для любых двух доходов отношение определенное в § 7.1, можно интерпретировать как отношение между соответствующими вырожденными вероятностными распределениями.

Если два дохода, причем то интервал определяется как следующее подмножество в

Мы предположим, что каждый интервал принадлежит -алгебре Следовательно, для каждого вероятностного распределения определены вероятности

Распределение называется финитным (ограниченным), если существуют доходы и такие, что

Другими словами, распределение финитно, если некоторый интервал имеет полную меру.

Сделанные в § 7.1 предположения относительно предпочтений статистика среди доходов из R будут теперь дополнены следующим образом.

Пусть обозначает класс всех финитных распределений из Предполагается, что на основе своих предпочтений статистик может вполне упорядочить множество Другими словами предполагается, что отношение обладает такими двумя свойствами:

1. Если два произвольных распределения из справедливо одно и только одно из следующих соотношений:

2. Если распределения из такие, что то

Отметим, что по поводу нефинитных распределений из пока не было сделано никаких предположений об отношении предпочтения между ними.