§ 12.3. Риск процедуры последовательного решения

Общий риск процедуры последовательного решения требующей хотя бы одного наблюдения, равен

Здесь апостериорная о. в. п. W после наблюдений

Мы можем вычислить математическое ожидание в (1), меняя порядок интегрирования, что дает

Для нас не будут представлять интереса отдельные значения апостериорной о. в. п. для но важную роль будет играть все апостериорное распределение. В связи с этим обозначим эту апостериорную о. в. п. просто через Итак, если априорная о. в. п. W, то апостериорная о. в. п. W при есть

Для всякой о. в. п. параметра определим формулой

Другими словами, представляет собой минимальный риск принятия решения без дальнейших наблюдений, если о. в. п. параметра есть . Мы потребуем, чтобы при каждой возможной о. в. п. , возникающей в процессе выбора, нашлось байесовское решение из которое доставляет минимальное значение риску

Байесовская процедура последовательного решения, или оптимальная процедура последовательного решения — это процедура при которой минимизируется риск Для построения байесовской процедуры последовательного решения статистик может ограничиться процедурами, решающие функции которых

являются байесовскими решениями из Итак, если выбор был закончен по наблюдении значений то принимаемое решение должно быть байесовским относительно апостериорной о. в. п. параметра Если некоторая процедура последовательного решения не всегда дает байесовское решение при окончании выбора, то найдется процедура 6 с тем же правилом остановки, что и но всегда приводящая к байесовским решениям и обладающая тем свойством, что

В соответствии с этими замечаниями мы предположим, что для всех рассматриваемых процедур последовательного решения выполнено следующее условие: при выборе решения из после окончания наблюдений используется только байесовское решение, отвечающее апостериорному распределению параметра Поэтому далее при рассмотрении процедур последовательного решения мы не будем явно указывать решающее правило. Таким образом, для всякой такой процедуры требующей хотя бы одного наблюдения, выполняется следующее соотношение:

Для процедуры же предписывающей принятие решения из без проведения наблюдений, имеет место равенство

В оставшейся части этой главы мы ограничимся рассмотрением важного класса задач, в которых при т. е. цена наблюдения постоянна. Однако большинство результатов последующих параграфов настоящей главы без труда можно распространить на случай более общих цен наблюдений.