§ 14.4. Некоторые задачи о пари

Предположим, что в некоторой игре (пари) статистик выигрывает с вероятностью Пусть его начальный капитал есть и в первой игре можно спорить на любую сумму («ставку») . В случае выигрыша он получает

в случае проигрыша теряет Пусть для обозначает капитал статистика после игр. В каждой игре статистик может спорить на сумму, не превосходящую его капитал в настоящий момент. Так, в игре это может быть произвольное число такое, что этой игре он теряет сумму с вероятностью и выигрывает ее с вероятностью Предположим, что исходы всех игр независимы и общее их число равно заданному числу Мы будем считать также, что известна функция полезности Задача статистика состоит в построении последовательной процедуры проведения игр, максимизирующей «среднюю полезность его конечного капитала

Для обозначим через максимальное значение где оставшееся число игр, а у — капитал статистика, т. е. Тогда для всех . Далее, при функции удовлетворяют следующему соотношению:

Последовательно применяя соотношение (1) для статистик может определить величину совпадающую со значением оптимальной процедуре. Саму оптимальную процедуру также можно описать с помощью соотношения (1): если число оставшихся игр равно и капитал статистика равен то оптимальной ставкой будет то х, при котором достигается верхняя грань правой части (1). Рассмотрим несколько конкретных примеров.

ПРИМЕР 1. Найдем вид оптимальной процедуры для случая, когда функция полезности выпукла. Другими словами, предположим, что статистик — любитель риска; этот случай обсуждался в § 7.6.

Для любого фиксированного значения функции выпуклы по в интервале Отсюда следует, что линейная комбинация также выпукла в интервале Так как максимальное значение произвольной выпуклой функции на замкнутом ограниченном интервале достигается в одной из граничных точек этого интервала, то из соотношения (1) при получаем

Другими словами, в финальной игре оптимальная процедура такова: если то статистику не следует играть вообще; в противном случае его ставкой должен быть весь имеющийся капитал у.

Обе функции и выпуклы при Так как максимум двух выпуклых функций сам является выпуклой функцией, то из (2) следует, что функция выпукла. Повторяя эти рассуждения для в (1), видим, что при предпоследней игре статистику опять-таки в качестве ставки надо брать весь наличный капитал или ничего не ставить. Далее, функция снова выпукла, и, продолжая таким образом, убеждаемся, что на каждом шаге статистик должен ставить либо весь накопленный капитал, либо не ставить ничего. Итак, функции при выпуклы и удовлетворяют следующему соотношению:

Допустим теперь, что т. е. каждая из игр благоприятна для статистика или меньшей мере справедлива. Поскольку имеет смысл полезности от обладания в конце игры капиталом у, то можно считать, что функция возрастает. По индукции выводим из соотношения (3), что возрастающая функция при любом Так как функции в то же время выпуклы, то для всех должно выполняться соотношение

Поэтому в соответствии с (3) оптимальная процедура предписывает статистику ставить весь имеющийся капитал на каждом шаге игры. Хотя эта процедура и оптимальна, она обладает тем весьма неприятным свойством, что с большой вероятностью статистик может потерять все свое состояние. После игр капитал статистика равен либо либо нулю. Вероятность того, что статистик потеряет все состояние, равна

Рассмотрим предельный случай, когда линейная функция. Тогда можно считать, что , и статистик, таким образом, должен просто максимизировать свой средний оконечный капитал. Если то на каждом шаге надо ставить все состояние. Если же то все процедуры дают один и тот же средний конечный выигрыш. При последнем условии все равно, какую сумму ставит статистик каждой игре и, вообще, играет ли он.

ПРИМЕР 2. Найдем теперь вид оптимальной процедуры для случая, когда выпуклая функция полезности задается равенством

где некоторое фиксированное число Допустим также, что Согласно (2),

Следовательно, независимо от значения капитала статистика у на этом шаге, оптимальная процедура при финальной игре такова: если то ставка статистика должна быть равна всему капиталу с другой стороны, если то ему ничего не надо ставить. В любом случае лишь множителем отличается от Поэтому эти же рассуждения справедливы и для предпоследней игры и по индукции для всех игр. Итак, согласно оптимальной процедуре, если то статистику надо при каждой игре ставить все свое состояние, если те то ему вообще не надо играть.

ПРИМЕР 3. Определим, наконец, вид оптимальной процедуры в случае, когда функция полезности вогнута. Другими словами, предположим, что статистик предпочитает избегать риска.

Как всегда, допустим, что функция V возрастает. Поэтому, если то при всех таких, что должно выполняться соотношение

Из (1) видно, что при . По индукции получаем формулы: при всех Таким образом, при наших предположениях статистику вообще не следует играть.

С другой стороны, если то каждая игра выгодна для статистика и он может пожелать сделать положительную ставку в игре, хотя вообще он и предпочитает избегать риска. Так, если и функция полезности при имеет вид

то значение можно получить из следующего уравнения:

Дифференцированием правой части (9) находим, что верхняя грань достигается в точке Поэтому

где Следовательно, и из (1) видно, что Вообще, при

Далее, для всякого и всякого у верхняя грань в правой части (1) достигается при

Оптимальная процедура, таким образом, имеет следующий вид. В каждой игре статистику надо ставить фиксированную долю своего капитала. При этой процедуре средняя полезность конечного капитала равняется

Дальнейшие замечания и ссылки на литературу. Большое количество интересных задач об азартных играх в весьма абстрактной постановке было изучено Дьюбинсом и Сэвиджем (1965). Ряд других игровых задач рассмотрен в статьях Келли (1956), Бреймана (1961), Маккина (1961, 1964b) и Фергюсона (1965). См. также заметки Муленора и Ван дер Вельде (1967), Фридмэна (1967) и Фридмэна и Пэрвиса (1967).

Торп (1961, 1962) определил и изучил благоприятную процедуру игры в двадцать одно.