§ 9.4. Сопряженные семейства для выборок из различных стандартных распределений

В этом параграфе мы укажем сопряженные семейства распределений для выборок из распределений Пуассона, отрицательного биномиального и показательного.

Теорема 1. Пусть повторная выборка распределения Пуассона с неизвестным значением среднего Допустим также, что априорное распределение есть гамма-распределение с параметрами , а Тогда апостериорное распределение при есть гамма-распределение с параметрами

Доказательство. Пусть обозначает значение функции правдоподобия при априорная п. р. в. W. Если то из условий нашей теоремы следует, что при

и

Если обозначает апостериорную п. p. в. W при то

Из следует, что

Из (4) видно, что апостериорная п. р. в. W есть плотность гамма-распределения с параметрами

В качестве меры рассеяния распределения положительной случайной величины обычно употребляется коэффициент вариации, определенный соотношением (5) § 3.6. Из равенства (4) § 4.8 и из теоремы 1 следует, что коэффициент вариации апостериорного распределения есть Пусть фиксированное положительное число. Допустим, что наблюдения извлекаются из распределения Пуассона до тех пор, пока коэффициент вариации апостериорного распределейия не станет Тогда выборку надо продолжать до момента первого выполнения неравенства а

Следующая теорема описывает сопряженное семейство распределений для выборки из отрицательного биномиального распределения. Ее доказательство предоставляется читателю (см. упр. 17 в конце этой главы).

Теорема 2. Пусть повторная выборка из отрицательного биномиального распределения с параметрами где фиксировано а значение неизвестно. Пусть априорное распределение есть бета-распределение с параметрами Тогда апостериорное распределение при является бета-распределением с параметрами а

Теорема 2 вместе с теоремой 1 § 9.2 дает возможность еще раз проиллюстрировать для выборок из распределения Бернулли важное свойство, которое уже вкратце обсуждалось в § 8.12. Пусть каждая деталь в большой партии выпускаемых деталей может классифицироваться как дефектная или годная, и пусть доля дефектных деталей в партии неизвестна, но имеет определенное априорное распределение. Предположим, далее, что из партии деталей извлекается выборка, каждый элемент которой подвергается контролю. Рассмотрим следующие четыре метода, с помощью которых может осуществляться выборка:

1. Из партии извлекается случайная выборка объема где фиксированное число.

2. Из партии случайно выбирается по одной детали, пока число дефектных деталей не достигнет где у — фиксированное число.

3. Из партии случайно извлекается по одной детали, пока контролера не отзовут по другим делам.

4. Детали случайно выбираются из партии до тех пор, пока контролер не сочтет, что он собрал достаточную информацию «относительно

Для любого из этих четырех методов пусть х обозначает вектор всех наблюденных значений, полученных в процессе выборки, и значение функции правдоподобия при Далее, пусть есть общее число проверенных деталей, у — число дефектных среди них. Тогда, каков бы ни был метод выбора, имеем основное соотношение

Отсюда следует, что апостериорное распределение будет одним и тем же при любом методе выбора. Другими словами, апостериорное распределение будет зависеть только от общего числа проверенных деталей и числа у дефектных среди них, а не от метода выбора, приведшего к этим результатам.

Следующая теорема описывает сопряженное семейство распределений для выборки из экспоненциального (показательного) распределения. Ее доказательство служит предметом упр. 20.

Теорема 3. Пусть случайная выборка из экспоненциального распределения с неизвестным значением параметра Пусть, далее, априорное распределение есть гамма-распределение с параметрами Тогда апостериорное распределение при есть гамма-распределение с параметрами